Преобразование Кельвина

Преобразова́ние Ке́львина применяется при решении задач Дирихле для уравнения Лапласа в неограниченных областях. Преобразованием Кельвина функции u(x) является функция

|OP| = x, |OP '| = x* — симметричные относительно сферы точки

$u^{\ast <!--\; \ast \; -->}(x^{\ast <!--\; \ast \; -->})={\left(\frac{R}{|x^{\ast <!--\; \ast \; -->}|}\right)}^{n-<!--\; -\; -->2}u\left(\frac{R^2}{|x^{\ast <!--\; \ast \; -->}{|}^2}{x}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right),$$u^{*}(x^{*})=\left({\frac {R}{|x^{*}|}}\right)^{n-2}u\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right),$

где точки x и x* симметричны относительны сферы с радиусом R: $|x||x^{\ast <!--\; \ast \; -->}|=R^2$$|x||x^{*}|=R^{2}$, а n — размерность пространства.

Преобразование Кельвина интересно тем, что оно сохраняет гармоничность функции, при этом выполняется следующее равенство:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{u}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(x^{\ast <!--\; \ast \; -->})=\frac{R^{n+2}}{|x^{\ast <!--\; \ast \; -->}{|}^{n+2}}(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(x^{\ast <!--\; \ast \; -->}).$$\Delta u^{*}(x^{*})={\frac {R^{n+2}}{|x^{*}|^{n+2}}}(\Delta u)^{*}(x^{*}).$

ЛитератураПравить

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.