Преобразование Виленкина — Крестенсона

Преобразование Виленкина — Крестенсона — обобщение преобразования Уолша. Используется при анализе и синтезе устройств автоматики с элементами, выполняющими операции троичной и $q$$q$-ичной логики.

Функция Виленкина — КрестенсонаПравить

Функцией Виленкина — Крестенсона называется функция, принимающая $q$$q$  комплексных значений при интервале задания $[0,q^m]$$[0,q^{m}]$  для любых натуральных чисел $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},m$$\omega ,m$ , когда $0⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->q^m-<!--\; -\; -->1$$0\leqslant \omega \leqslant q^{m}-1$ . Функция Виленкина — Крестенсона задается формулой:

$vi{l}^q(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=e^{j\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{q}\underset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0}{\overset{m-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{m-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$$vil^{q}(\omega ,\theta )=e^{j{\frac {2\pi }{q}}\sum _{\xi =0}^{m-1}}{\omega ^{m-1-\xi }\theta ^{\xi }}$ , где

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})},{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}\in <!--\; \in \; -->0,1,...,q-<!--\; -\; -->1$$\omega ^{(\xi )},\theta ^{(\xi )}\in {0,1,...,q-1}$ ,

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\underset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0}{\overset{m-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}{q}^{m-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$$\omega =\sum _{\xi =0}^{m-1}\omega ^{(\xi )}q^{m-1-\xi }$ ,

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\underset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}{q}^{m-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$$\theta =\sum _{\xi =0}^{\infty }\theta ^{(\xi )}q^{m-1-\xi }$ ,

При $q=2$$q=2$  функции Виленкина — Крестенсона превращаются в функции Уолша.

ЛитератураПравить

• Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975 г.
• Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. — М.: Наука, 1989 — ISBN 5-02-014094-5

ТакжеПравить

• Наум Яковлевич Виленкин