Предел Лапласа

Преде́л Лапла́са — максимальное значение эксцентриситета, при котором решение уравнения Кеплера, выраженное в виде ряда по эксцентриситету, сходится. Названо в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа. Приблизительное значение предела Лапласа:

0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90.

ПояснениеПравить

Уравнение Кеплера $M=E-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\sin <!--\; \; -->E$$M=E-\varepsilon \sin E$  связывает между собой среднюю аномалию M с эксцентрической аномалией E для тела, движущегося по эллипсу с эксцентриситетом ε. Это уравнение не может быть решено для E через элементарные функции, но теорема Лагранжа об обращении рядов даёт решение в виде степенного ряда от ε:

$E=M+\sin <!--\; \; -->(M)\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+\frac{1}{2}\sin <!--\; \; -->(2M){\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2+\left(\frac{3}{8}\sin <!--\; \; -->(3M)-<!--\; -\; -->\frac{1}{8}\sin <!--\; \; -->(M)\right){\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^3+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac 12}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac 38}\sin(3M)-{\tfrac 18}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots$ 

Радиус сходимости этого степенного ряда (такое число, что при меньших значениях ряд сходится, а при больших — расходится) при значениях константы M, не являющихся целочисленными кратными π, не зависит от выбора M и называется числом (пределом) Лапласа.

Предел Лапласа является решением уравнения

$\frac{x\exp <!--\; \; -->(\sqrt{1+x^2})}{1+\sqrt{1+x^2}}=1.$${\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1.$ 

См. такжеПравить

• Эксцентриситет орбиты

ПримечанияПравить

• Finch, Steven R. (2003), Laplace limit constant, Mathematical constants, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-81805-6 .

СсылкиПравить

• Предел Лапласа на сайте MathWorld Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine