Предельное множество

Предельное множество — математическое понятие, означающее множество состояний, которое достигает математический объект, зависящий от времени (например, динамическая система), через бесконечный интервал времени. Другими словами, это множество состояний, к которым объект неограниченно приближается при неограниченном возрастании (или убывании) времени.

В теории динамических системПравить

Пусть $x=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$x=\varphi (t)$  — траектория векторного поля (динамической системы) с фазовым пространством X. Точка $x_{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->X$$x_{*}\in X$  называется ω-предельной (α-предельной) точкой этой траектории, если существует последовательность $t_n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$t_{n}\to +\infty$  (соответственно, $t_n\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$t_{n}\to -\infty$ ) такая, что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t_n)\to <!--\; \to \; -->x_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\varphi (t_{n})\to x_{*}$ . Соответственно, α-предельным (ω-предельным) множеством этой траектории называется множество, состоящее из всех её α-предельных (ω-предельных) точек.

Теорема. Как α-предельное, так и ω-предельное множество являются инвариантными и замкнутыми множествами.

См. такжеПравить

• Особая точка (дифференциальные уравнения)
• Предельный цикл
• Теорема Пуанкаре — Бендиксона
• Аттрактор

ЛитератураПравить

• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 455. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.
• А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
• К. Носиро. Предельные множества. — М.: ИЛ, 1963.
• В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: ГИТТЛ, 1949.
• Э. Коллингвуд, А. Ловатер. Теория предельных множеств. — М.: Мир, 1971.