Постоянная Голомба — Дикмана

Постоянная Голомба — Дикмана — математическая константа, возникающая в случайных перестановках и в теории чисел, равная:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\mathrm{0,624}32998854355087099293638310083724\dots <!--\; \dots \; -->$$\lambda =0{,}62432998854355087099293638310083724\dots$.

Названа по именам Соломона Голомба и Карла Дикмана. Вычисляется из всех перестановок множества из $n$$n$ элементов с использованием средней длины наиболее длинного цикла перестановки $a_n$$a_n$:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{a_n}{n}$$\lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$.

С точки зрения теории вероятностей $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}n$$\lambda n$ является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из $n$$n$ элементов.

В теории чисел постоянная возникает в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{1}{n}\underset{k=2}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\log <!--\; \; -->(P_1(k))}{\log <!--\; \; -->(k)}$$\lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\log(P_{1}(k))}{\log(k)}}$

где $P_1(k)$$P_{1}(k)$ — наибольший простой делитель числа $k$$k$. Таким образом, если $k$$k$ — $d$$d$-значное десятичное целое, то $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}d$$\lambda d$ является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе $k$$k$.

Другой источник из теории чисел — вероятность того, что второй по величине простой делитель числа $n$$n$ меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя $n$$n$, асимптотически равная $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathrm{prob}<!--\; \; -->\left\{P_2(n)⩽<!--\; ⩽\; -->\sqrt{P_1(n)}\right\}$$\lambda =\lim _{n\to \infty }\operatorname {prob} \left\{P_{2}(n)\leqslant {\sqrt {P_{1}(n)}}\right\}$

где $P_2(n)$$P_{2}(n)$ — второй по величине простой делитель $n$$n$.

Существует несколько интегральных представлений для $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->t-<!--\; -\; -->{\mathrm{Ei}}_1<!--\; \; -->(t)}dt$$\lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-\operatorname {Ei} _{1}(t)}dt$, где ${\mathrm{Ei}}_1<!--\; \; -->(t)$$\operatorname {Ei} _{1}(t)$ — модифицированная интегральная показательная функция,

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(t)}{t+2}dt$$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt$

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(t)}{(t+1{)}^2}dt$$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}dt$, где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(t)$$\rho (t)$ — это функция Дикмана.

Вопрос о рациональности или иррациональности постоянной открыт.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Golomb-Dickman Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Finch, Steven R. Mathematical Constants (неопр.). — Cambridge University Press, 2003. — С. 284—286. — ISBN 0-521-81805-2.