Постоянная Гаусса (математика)

Постоянная Гаусса(обозначение — G) — математическая константа определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от пары чисел, а именно, от единицы и квадратного корня из 2:

$G=\frac{1}{\mathrm{agm}<!--\; \; -->\left(1,\sqrt{2}\right)}=0.8346268\dots <!--\; \dots \; -->$$G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0.8346268\dots$(последовательность A014549 в OEIS)

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799 году обнаружил, что

$G=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^4}}$$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

чтобы

$G=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{B}\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$$G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)$

где Β обозначает бета-функцию.

Связь с другими константамиПравить

Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе $\frac{1}{4}$${\frac {1}{4}}$ :

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2G\sqrt{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^3}}$$\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$ 

В качестве альтернативы,

$G=\frac{{\left[\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{1}{4}\right)\right]}^2}{2\sqrt{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^3}}$$G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$ 

а поскольку $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  и $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{1}{4}\right)$$\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)$  алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константы лемнискатыПравить

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют эквивалент

$\mathrm{\varpi <!--\; \varpi \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G$$\varpi =\pi G$ 

которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа $A$$A$  и $B$$B$  называются константами лемнискаты, первая из которых

$A=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G}{2}=\frac{\mathrm{\varpi <!--\; \varpi \; -->}}{2}=\frac{1}{4}\mathrm{B}\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$$A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)$ 

и вторая константа:

$B=\frac{1}{2G}=\frac{1}{4}\mathrm{B}\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right).$$B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right).$ 

Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. $A$$A$  и $B$$B$  Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.

Другие формулыПравить

Формула, выражающая G через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:

$G={\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_{01}^2\left(e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)$$G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)$ 

Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}}{\left(\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n{e}^{-<!--\; -\; -->2n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(3n+1)}\right)}^2.$$G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.$ 

Константу также можно выразить бесконечным произведением

$G=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{\tanh }^2<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}m}{2}\right).$$G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).$ 

Эта константа появляется при оценке интегралов

$\frac{1}{G}={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\sqrt{\sin <!--\; \; -->(x)}dx={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\sqrt{\cos <!--\; \; -->(x)}dx$${\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx$ 

$G={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{dx}{\sqrt{\cosh <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x)}}$$G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}$ 

Представление константы в виде непрерывной дроби:

$G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5,2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\dots <!--\; \dots \; -->].$$G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5,2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\dots ].$ (последовательность A053002 в OEIS)

ИсточникиПравить

• Weisstein, Eric W. Gauss's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.