Последовательность Гийсвита

Последовательность Гийсвита — последовательность, начинающаяся с

1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, … (последовательность A090822 в OEIS).

Последовательность названа создателем OEIS Нилом Слоуном в честь Д. Гийсвита (D. C. Gijswijt). Эта последовательность в первую очередь интересна благодаря своей медленной скорости роста: число 4 в первый раз встречается на позиции 220, а число 5 — вблизи позиции 10¹⁰²³.

Описание Править

Представим члены последовательность в виде букв алфавита, представленных натуральными числами. Первый член последовательности — 1. Каждый последующий член — наибольшее число $k$$k$  такое, что строку, образованную путём конкатенации все предыдущих членов («букв»), можно представить в виде $X{Y}^k$$XY^{k}$ (то есть $X\underset{k}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{YYY\dots <!--\; \dots \; -->Y}}$$X\underbrace {YYY\dots Y} _{k}$ ), где $X$$X$  и $Y$$Y$  — строки, причём $Y$$Y$  имеет ненулевую длину. Многозначные числа в последовательности следует воспринимать как числа, а не как их отдельные цифры. То есть, например, число 10 будет использовано как цельный символ «10», а не как «1» и «0».

Пример генерации последовательности:

• На первой итерации, первый член равен 1
• Строку «1» представляем как «1»¹, следующий член — 1
• Строку «11» представляем как «1»², следующий член — 2
• Строку «112» представляем как «112»¹, следующий член — 1
• Строку «11211» представляем как «112»"1"², следующий член — 2
• Строку «112112» представляем как «112»², следующий член — 2
• Строку «1121122» представляем как «11211»"2"², следующий член — 2
• Строку «11211222» представляем как «112112»"2"³, следующий член — 3
• Строку «112112223» представляем как «112112223»¹, следующий член — 1

и т. д.

Свойства Править

Над последовательностью Гийсвита проводятся ограниченные исследования. Из-за этого она остаётся малоизученной, и многие вопросы насчёт неё остаются открытыми.

Скорость роста Править

Учитывая, что число 5 не встречается в последовательности примерно до 10¹⁰²³-й позиции, методом «грубой силы» вряд ли удастся найти числа больше, чем 4. Однако, было доказано, что в последовательности встречается каждое натуральное число. Точная скорость роста неизвестна, но есть предположение, что в первый раз натуральное число $n$$n$  появляется в последовательности на позиции $2^{2^{3^{4^{{\cdot <!--\; \cdot \; -->}^{{\cdot <!--\; \cdot \; -->}^{{\cdot <!--\; \cdot \; -->}^{n-<!--\; -\; -->1}}}}}}}$$2^{2^{3^{4^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n-1}}}}}}}$ .

Среднее значение Править

Хотя было доказано, что любое натуральное число встречается в последовательности, было выдвинуто предположение, что последовательность может иметь среднее значение. Формально, гипотеза такова:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}G(i)<\infty$ 

где $G(n)$$G(n)$  — $n$$n$ -й член последовательности Гийсвита.

Частота появления любого натурального числа в последовательности также неизвестна.

Рекурсивная структура Править

Последовательность может быть разбита на дискретные последовательности — «блок» и «клей» — которые могут быть использованы для рекурсивного создания последовательности.

Вначале определим $B_1=1$$B_{1}=1$  и $S_1=2$$S_{1}=2$  как первые последовательности «блока» и «клея» соответственно. Они формируют первые члены последовательности:

$B_1{B}_1{S}_1=1,1,2$$B_{1}B_{1}S_{1}=1,1,2$ .

Далее рекурсивно определим $B_2=B_1{B}_1{S}_1$$B_{2}=B_{1}B_{1}S_{1}$ . Тогда строка «клея» примет вид $S_2=2,3,3$$S_{2}=2,3,3$ . Теперь генерируемая последовательность:

$B_2{B}_2{S}_2=1,1,2,1,1,2,2,2,3$$B_{2}B_{2}S_{2}=1,1,2,1,1,2,2,2,3$ .

Обратите внимание, что строку «клея» $S_2$$S_{2}$  мы определили не рекурсивно, а присвоили ей конкретное значение, которое мы получаем из определения последовательности Гийсвита.

Таким образом, мы можем определить формулу для «блоков»: $B_{n+1}=B_n{B}_n{S}_n$$B_{n+1}=B_{n}B_{n}S_{n}$ . Строки «клея» $S_n$$S_{n}$  получаем, достраивая последовательность по определению, до тех пор, пока не достигнем 1.

См. также Править

• Последовательность «Посмотри-и-скажи»
• Последовательность Колакоски