Последняя теорема Пуанкаре

Последняя теорема Пуанкаре — утверждение о наличии хотя бы двух неподвижных точек у всякого преобразования плоского кольца, вращающего граничные окружности в противоположных направлениях и при этом сохраняющего площадь. Теорема играет важную роль в теории динамических систем.

Данная теорема была сформулирована Анри Пуанкаре; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти. Доказательство дал Джордж Биркгоф спустя полгода; его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и Ньюманом.

ФормулировкаПравить

Пусть $K$$K$  — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами $r=a$$r=a$  и $r=b$$r=b$ . Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

$r^{\prime }=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->});{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$r'=\varphi(r, \theta); \theta'=\psi(r, \theta)$ ,

удовлетворяющее следующим условиям:

1. отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному;
2. каждая граничная окружность переходит в себя: $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=a$$\varphi (a,\theta )=a$ , $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(b,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=b$$\varphi(b,\theta)=b$ ;
3. точки с $r=a$$r=a$  передвигаются против часовой стрелки, а точки с $r=b$$r=b$  — по часовой стрелке. Более точно, функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  непрерывна и $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(a,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})>\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\psi(a, \theta) > \theta$  и $\psi(b, \theta) < \theta$  при любом $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ .

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

Вариации и обобщенияПравить

• Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.

ЛитератураПравить

• Пуанкаре теорема последняя — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский
• Парс Л. А. Аналитическая динамика, пер. с англ., М.: Наука, 1971. 636 с.

СсылкиПравить

• Кириллов А. Н. Последняя геометрическая теорема Пуанкаре: история и драма идей (видео) // Семинар по истории математики, Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН, 7 сентября 2017 г.