Полюс (комплексный анализ)

Изолированная особая точка $z_0$$z_{0}$ называется полюсом функции $f(z)$$f(z)$, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

Модуль Гамма-функции $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)$$\Gamma(z)$. Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа (Re z>0) полюсов нет, функция всюду конечна.

$\underset{z\to <!--\; \to \; -->z_0}{lim}f(z)=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim _{{z\to {z_{0}}}}f(z)=\infty$.

Критерии полюсаПравить

• Точка $z_0$$z_{{0}}$  является полюсом тогда, и только тогда, когда в разложении функции $f(z)$$f(z)$  в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_0$$z_{0}$  главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

$f(z)=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_k(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^k=P(z)+f_{-<!--\; -\; -->n}(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^{-<!--\; -\; -->n}+\dots <!--\; \dots \; -->+f_{-<!--\; -\; -->1}(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$f(z)=\sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{{-n}}(z-z_{0})^{{-n}}+\ldots +f_{{-1}}(z-z_{0})^{{-1}}$ ,

где $P(z)$$P(z)$  — правильная часть ряда Лорана. Если $f_{-<!--\; -\; -->n}\ne <!--\; \ne \; -->0$$f_{{-n}}\neq \ 0$ , то $z_0$$z_{0}$  называется полюсом порядка $n$$n$ . Если $n=1$$n=1$ , то полюс называется простым.

• Точка $z_0$$z_{{0}}$  является полюсом порядка $k$$k$  тогда и только тогда, когда $\underset{z\to <!--\; \to \; -->z_0}{lim}f(z)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^{k-<!--\; -\; -->1}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim _{{z\to {z_{0}}}}f(z)(z-z_{0})^{{k-1}}=\infty$ , а $\underset{z\to <!--\; \to \; -->z_0}{lim}f(z)(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^k\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim _{{z\to {z_{0}}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$ 
• Точка $z_0$$z_{{0}}$  является полюсом порядка $k$$k$  тогда и только тогда, когда она является для функции $F(z)=\frac{1}{f(z)}$$F(z)={\frac {1}{f(z)}}$  нулем порядка $k$$k$ .

См. такжеПравить

• Нуль (комплексный анализ)
• Мероморфная функция
• Вычет
• Интегральная формула Коши

• Другие типы изолированных особых точек:
  • Устранимая особая точка
  • Существенно особая точка

ЛитератураПравить

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.