Ряд Лорана

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

ОпределениеПравить

Ряд Лорана в конечной точке $z_0\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$z_{0}\in \mathbb {C}$  — функциональный ряд по целым степеням $(z-<!--\; -\; -->z_0)$$(z-z_{0})$  над полем комплексных чисел:

$\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n,$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad$  где переменная $z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{z_0\}$$z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\}$ , а коэффициенты $c_n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$c_{n}\in \mathbb {C}$  для $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$n\in \mathbb {Z}$ .

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

1. $\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n$$\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$  — часть по неотрицательным степеням $(z-<!--\; -\; -->z_0)$$(z-z_{0})$ ,
2. $\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n$$\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$  — часть по отрицательным степеням $(z-<!--\; -\; -->z_0)$$(z-z_{0})$ .

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если $A_{z_0}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->(\mathbb{C}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{z_0\})$$A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})$  — область сходимости ряда Лорана такая, что $z_0\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_{z_0}$$z_{0}\in \partial {A_{z_{0}}}$ , то для $A_{z_0}$$A_{z_{0}}$ 

ряд $\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n$$\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$  называется правильной частью,

ряд $\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n$$\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$  называется главной частью.

Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке $z_0=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{C}}$$z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}$  — функциональный ряд по целым степеням $z$$z$  над полем комплексных чисел:

$\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n{z}^n,$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad$  где переменная $z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}$$z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ , а коэффициенты $c_n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$c_{n}\in \mathbb {C}$  для $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$n\in \mathbb {Z}$ .

По внешнему виду ряд для $z_0=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$z_{0}=\infty$  совпадает с рядом для $z_0=0$$z_{0}=0$ , однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены $z\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->\frac{1}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}$$z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}$  для ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0=0$$\zeta _{0}=0$ .

Если $A_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->(\mathbb{C}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\})$$A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})$  — область сходимости ряда Лорана такая, что $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{A}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\infty \in \partial {A_{\infty }}$ , то для $A_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$A_{\infty }$ 

ряд $\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n{z}^n$$\sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}$  называется правильной частью,

ряд $\underset{n=+1}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n{z}^n$$\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}$  называется главной частью.

СвойстваПравить

• Часть по положительным степеням $(z-<!--\; -\; -->z_0)$$(z-z_{0})$  сходится во внутренности $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$  круга радиуса $R=\frac{1}{\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}|c_n{|}^{1/n}}\in <!--\; \in \; -->[0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}]$$R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\infty ]$ ,

часть по отрицательным степеням $(z-<!--\; -\; -->z_0)$$(z-z_{0})$  сходится во внешности ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_r=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{C}}\setminus <!--\; \setminus \; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{D}}_r=\{z\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{C}}:|z-<!--\; -\; -->z_0|>r\}$$\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z-z_{0}|>r\}$  круга $D_r$$D_{r}$  радиуса $r=\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}|c_{-<!--\; -\; -->n}{|}^{1/n}\in <!--\; \in \; -->[0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}]$$r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]$ .

Поэтому, если $r<R\,$ , то внутренность $A$$A$  области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

$A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{R}$ .

• Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности $C_R(z_0)=\{z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}:|z-<!--\; -\; -->z_0|=R\}$$C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\}$  зависит только от $\underset{n=n_s}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n$$\sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$  для произвольного $n_s\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n_{s}\in \mathbb {N}$ ,

а в точках граничной окружности $C_r(z_0)=\{z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}:|z-<!--\; -\; -->z_0|=r\}$$C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\}$  — только от $\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{-<!--\; -\; -->n_s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n$$\sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$  для произвольного $n_s\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n_{s}\in \mathbb {N}$ .

Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца $A$$A$  может быть разнообразным.

• Во всех точках кольца $A$$A$  ряд Лорана сходится абсолютно.
• На любом компактном подмножестве $K\subset <!--\; \subset \; -->A$$K\subset A$  ряд сходится равномерно.
• Для каждой точки ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0\in <!--\; \in \; -->A$$\zeta _{0}\in A$  существует такое значение $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0)=min\{\text{dist}(C_r(z_0),{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0),\text{dist}(C_R(z_0),{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0)\}>0$$\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist}}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0$ , что $D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\}\subset A$ , и ряд Лорана $f(z)$$f(z)$  может быть записан в виде сходящегося в $D_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0)$$D_{\rho }(\zeta _{0})$  ряда по степеням $(z-<!--\; -\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0)$$(z-\zeta _{0})$ :

$\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n=\underset{k=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{t}_k({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0)(z-<!--\; -\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0{)}^k,$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad$  где $z\in <!--\; \in \; -->D_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0)$$z\in D_{\rho }(\zeta _{0})$ , а $t_k({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0)=\frac{f^{(k)}({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0)}{k!}$$t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!}}$  для $k\in <!--\; \in \; -->\{0\}\cup <!--\; \cup \; -->\mathbb{N}$$k\in \{0\}\cup \mathbb {N}$ ,

т.е. ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_0$$\zeta _{0}$  является для $f(z)$$f(z)$  правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в $A$$A$  есть аналитическая функция $f(z)$$f(z)$ .

• Для $0<r<R<+\infty$  на граничных окружностях кольца сходимости $A$$A$  существуют непустые множества $I_r\subseteq <!--\; \subseteq \; -->C_r(z_0)$$I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$ , $I_R\subseteq <!--\; \subseteq \; -->C_R(z_0)$$I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$  точек, не являющихся для $f(z)$$f(z)$  правильными.
• Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном $K\subset <!--\; \subset \; -->A$$K\subset A$  почленно.
• Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в $A$$A$  функцию только при $c_{-<!--\; -\; -->1}=0$$c_{-1}=0$ , поскольку для любого $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}>0$$\rho >0$  значение $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{\begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\right.$ 

Ряд $\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},n\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n$$\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,$ , представляющий в двусвязной области $A$$A$  функцию $f(z)-<!--\; -\; -->\frac{c_{-<!--\; -\; -->1}}{z-<!--\; -\; -->z_0}$$f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,$ , для любого компактного $K\subset <!--\; \subset \; -->A$$K\subset A$  и любой спрямляемой ориентированной кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->K$$\gamma \subset K$  можно интегрировать по $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  и не зависит от формы кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ .

• Коэффициенты $(c_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$$(c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$  ряда Лорана $f(z)$$f(z)$  удовлетворяют соотношениям

$c_n=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}\underset{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{f(z)dz}{(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^{n+1}}=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}\underset{|z-<!--\; -\; -->z_0|=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{f(z)dz}{(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^{n+1}}$$c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}$ ,

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном $K\subset <!--\; \subset \; -->A$$K\subset A$  и один раз обходящая против часовой стрелки точку $z_0$$z_{{0}}$ . В частности, в качестве $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  можно взять любую окружность $C_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=\{z_0+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{e}^{it}\mid <!--\; \mid \; -->t\in <!--\; \in \; -->[0;2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]\}$$C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\}$  радиуса $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\in <!--\; \in \; -->(r;R)$$\rho \in (r;R)$  с центром в $z_0$$z_{{0}}$ , расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр $t$$t$  должен возрастать).

• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням $(z-<!--\; -\; -->z_0)$$(z-z_{0})$ , сходящихся в $A_1$$A_{1}$  и $A_2$$A_{2}$  соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности $C_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=\{z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}:|z-<!--\; -\; -->z_0|=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\}\subset <!--\; \subset \; -->(A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_2)$$C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})$  или на гомотопной ей по $A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_2$$A_{1}\cap A_{2}$  спрямляемой кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\sim <!--\; \sim \; -->C_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$$\gamma \sim C_{\rho }$ , то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема ЛоранаПравить

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция $f(z)$$f(z)$ , являющаяся однозначной и аналитической в кольце $A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}$ , представима в $A$$A$  сходящимся рядом Лорана по степеням $(z-<!--\; -\; -->z_0)$$(z-z_{0})$ .

Представление однозначной аналитической функции $f(z)$$f(z)$  в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности $A_{z_0}$$A_{z_{0}}$  изолированной особой точки:

1) если точка $z_0\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$z_{0}\neq \infty$ , то существует радиус $R_{z_0}\in <!--\; \in \; -->(0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}]$$R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]$  такой, что в проколотой окрестности

$A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad$ 

функция $f(z)$$f(z)$  представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка $z_0=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$z_{0}=\infty$ , то существует радиус $r_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\in <!--\; \in \; -->[0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$r_{\infty }\in [0;+\infty )$  такой, что в проколотой окрестности

$A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \}$ 

функция $f(z)$$f(z)$  представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки $z_0$$z_{{0}}$  определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности $A_{z_0}$$A_{z_{0}}$ :

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

ЛитератураПравить

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том 1: Начала теории. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — 486 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е. — М.: Наука, 1984. — 432 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.