Полунепрерывная функция

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.

полунепрерывная сверху функция.

полунепрерывная снизу функция.

ОпределенияПравить

• Пусть дано полное метрическое пространство $(X,\mathrm{\varrho <!--\; \varrho \; -->}).$$(X,\varrho ).$  Вещественнозначная функция $f:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:X \to \mathbb{R}$  называется полунепреры́вной сни́зу (све́рху) в точке $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$ , если

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->f(x)\ge <!--\; \ge \; -->f(x_0)\left(\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->f(x)\le <!--\; \le \; -->f(x_0)\right).$$\varliminf _{{x\to x_{0}}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{{x\to x_{0}}}f(x)\leq f(x_{0})\right).$ 

• Функция $f$$f$  называется полунепрерывной снизу (сверху) на $M\subset <!--\; \subset \; -->X$$M\subset X$ , если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех $x_0\in <!--\; \in \; -->M$$x_{0}\in M$ .

СвойстваПравить

• Функция $f:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:X\to \mathbb{R}$  полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество $\{x\in <!--\; \in \; -->X\mid <!--\; \mid \; -->f(x)>a\}$$\{x\in X\mid f(x)>a\}$  открыто при любом $a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.$$a\in \mathbb{R} .$ 
• Пусть $f,g:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f,g:X\to \mathbb{R}$  суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма $f+g$$f+g$  также полунепрерывна снизу (сверху).
• Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке $x_0$$x_{0}$  функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в $x_0$$x_{0}$ . Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций $f_n:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$f_{n}:X\to {\mathbb {R}},\;n\in {\mathbb {N}}$  таких, что $f_{n+1}(x)\ge <!--\; \ge \; -->(\le <!--\; \le \; -->)f_n(x)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X.$$f_{{n+1}}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in {\mathbb {N}}\;\forall x\in X.$  Тогда если существует предел $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{f}_n(x)=f(x)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X,$$\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\in X,$  то $f$$f$  полунепрерывна снизу (сверху).
• Если $u:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$u:X\to {\mathbb {R}}$  и $v:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$v:X\to {\mathbb {R}}$  есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
       $-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,$ 
  то существует непрерывная функция $f:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:X \to \mathbb{R}$ , такая что
      $v(x)\le <!--\; \le \; -->f(x)\le <!--\; \le \; -->u(x),x\in <!--\; \in \; -->X.$$v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\in X.$ 
• (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество $K\subset <!--\; \subset \; -->X.$$K\subset X.$  Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция $f:K\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:K\to \mathbb{R}$  достигает на $K$$K$  своего минимума (максимума).

ПримерыПравить

• Целая часть $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->[x]$$x\mapsto [x]$  является полунепрерывной сверху функцией;
• Дробная часть $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\{x\}$$x\mapsto \{x\}$  полунепрерывная снизу.
• Индикатор ${\mathbf{1}}_U$${\mathbf {1}}_{U}$  произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой $\mathrm{\varrho <!--\; \varrho \; -->}$$\varrho$ , множества $U\subset <!--\; \subset \; -->X$$U\subset X$  является полунепрерывной снизу функцией.
• Индикатор ${\mathbf{1}}_V$${\mathbf {1}}_{V}$  произвольного замкнутого множества $V\subset <!--\; \subset \; -->X$$V\subset X$  является полунепрерывной сверху функцией.

ЛитератураПравить

• Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
• Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.