Полугруппа операторов

Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов возникла в середине XX века в работах таких известных математиков, как Хилле (англ. Einar Hille), Филлипса (англ. Ralph Saul Phillips), Иосиды, Феллера. Основные применения этой теории: абстрактные задачи Коши, параболические уравнения, случайные процессы.

ОпределениеПравить

Пусть $X$$X$  — банахово пространство. Полугруппой операторов $\{T_t{\}}_{t⩾<!--\; ⩾\; -->0}$$\{T_{t}\}_{t\geqslant 0}$  в пространстве $X$$X$  называется семейство ограниченных операторов $T_t:X\to <!--\; \to \; -->X$$T_{t}:X\to X$ , $t⩾<!--\; ⩾\; -->0$$t\geqslant 0$ , удовлетворяющее следующим свойствам:

1. $T_t{T}_s=T_{t+s}$$T_{t}T_{s}=T_{t+s}$ , где умножение операторов есть композиция этих отображений.
2. $T_0=I$$T_{0}=I$ , где $I$$I$  есть единичный оператор в пространстве $X$$X$ .

Из определения полугруппы следует, что для любой полугруппы существуют такие константы $M>0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->R$$M>0,\alpha \in R$ , что:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->T_t\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->M{e}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}.$$\|T_{t}\|\leqslant Me^{\alpha t}.$ 

Генератор полугруппыПравить

Центральным понятием в теории полугрупп операторов является понятие генератора полугруппы. Генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы $T_t$$T_{t}$  называется оператор

$A:X\supset <!--\; \supset \; -->D(A)\to <!--\; \to \; -->X$$A:X\supset D(A)\to X$ 

$A\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\underset{t\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{T_t\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{t},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->D(A),$$A\varphi =\lim \limits _{t\to 0}{\frac {T_{t}\varphi -\varphi }{t}},\ \varphi \in D(A),$ 

где область определения $D(A)$$D(A)$  определяется как множество таких элементов, что данный предел существует. Генератор полугруппы есть линейный, вообще говоря, неограниченный оператор. Если полугруппа сильнонепрерывна, то область определения генератора является плотной в $X$$X$ , а сам генератор есть замкнутый оператор. С другой стороны не каждый замкнутый, плотно определенный оператор является генератором полугруппы. Генератор однозначно определяется по полугруппе; генератор однозначно определяет полугруппу, если она сильнонепрерывна.

Виды полугруппПравить

В зависимости от гладкости по параметру рассматриваются различные виды полугрупп.

Полугруппа $T_t$$T_{t}$  называется равномернонепрерывной, если выполнено следующее условие:

$\underset{t\to <!--\; \to \; -->s}{lim}\Vert <!--\; \Vert \; -->T_t-<!--\; -\; -->T_s\Vert <!--\; \Vert \; -->=0$$\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}-T_{s}\|=0$ ,

где предел понимается в смысле операторной топологии.

Полугруппа $T_t$$T_{t}$  называется $C_0$$C_{0}$ -полугруппой или сильно непрерывной полугруппой, если выполнено условие:

$\underset{t\to <!--\; \to \; -->s}{lim}\Vert <!--\; \Vert \; -->T_t\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->T_s\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_X=0$$\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}\varphi -T_{s}\varphi \|_{X}=0$ ,

для любого фиксированного элемента $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->X$$\varphi \in X$ .

Большую роль в приложениях играют сжимающие полугруппы. Сильно непрерывная полугруппа называется сжимающей если выполнено следующее условие:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->T_t\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->1$$\|T_{t}\|\leqslant 1$ .

Сильно непрерывная полугруппа $T_t$$T_{t}$  называется аналитической полугруппой, если она может быть аналитически продолжена в некоторый сектор

$\Delta _{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},\quad 0<\delta \leqslant \pi /2$ ,

таким образом, что $T_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$T_{\lambda }$  непрерывна в ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$${\overline {\Delta }}_{\delta }$ .

Критерии для генераторов полугруппПравить

Линейный оператор $A$$A$  в пространстве $X$$X$  порождает равномерно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда $A$$A$  является ограниченным оператором. Отсюда следует, что в конечномерных пространствах все полугруппы являются равномерно непрерывными.

Критерием для генератора сильно непрерывной полугруппы является следующая теорема: линейный оператор $A$$A$  является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Оператор $A$$A$  замкнутый.
2. Область определения $D(A)$$D(A)$  плотно в $X$$X$ .
3. Существует такое ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0$$\lambda _{0}$ , что все числа $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0$$\lambda \geqslant \lambda _{0}$  являются резольвентными для оператора $A$$A$ .
4. Существует такая константа $c_1>0$$c_{1}>0$ , что для всех $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0$$\lambda >\lambda _{0}$  выполнено неравенство

$\Vert <!--\; \Vert \; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I-<!--\; -\; -->A{)}^{-<!--\; -\; -->k}\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{c_1}{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0{)}^k},k=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$\|(\lambda I-A)^{-k}\|\leqslant {\frac {c_{1}}{(\lambda -\lambda _{0})^{k}}},\quad k=1,2,\dots$ 

Если вместо условия 4) выполнено условие

$\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I-<!--\; -\; -->A\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0},$$\|\lambda I-A\|\leqslant {\frac {1}{\lambda -\lambda _{0}}},$ 

то оператор $A$$A$  также будет генератором сильно непрерывной полугруппой. Случай ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0=0$$\lambda _{0}=0$  известен как теорема Хилле — Иосиды: линейный оператор $A$$A$  является генератором сжимающей полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Оператор $A$$A$  замкнутый.
2. Область определения $D(A)$$D(A)$  плотно в $X$$X$ .
3. Все числа $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\lambda \geqslant 0$  являются резольвентными для оператора $A$$A$ .
4. Для всех $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$  выполнено неравенство:

   $\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I-<!--\; -\; -->A\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},$$\|\lambda I-A\|\leqslant {\frac {1}{\lambda }},$ 

Для того, чтобы генератор сильно непрерывной полугруппы $A$$A$  был генератором аналитической полугруппы необходимо потребовать значительно больших условий на спектр оператора $A$$A$ .

Оператор $A$$A$  является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существуют числа $\pi /2<\omega \leqslant \pi$  и $q⩾<!--\; ⩾\; -->0$$q\geqslant 0$ , что множество ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{q,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=\{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->C:Re\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|>q\}$$\Omega _{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\}$  свободно от спектра оператора $A$$A$  и выполнено неравенство

$\Vert <!--\; \Vert \; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I-<!--\; -\; -->A{)}^{-<!--\; -\; -->1}\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{c_2}{|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{q,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}},$$\|(\lambda I-A)^{-1}\|\leqslant {\frac {c_{2}}{|\lambda |}},\quad \lambda \in \Omega _{q,\omega },$ 

где константа $c_2>0$$c_{2}>0$  не зависит от $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ .

Ещё один эквивалентный критерий для генератора аналитической полугруппы — генератор сильно непрерывной полугруппы является генератором аналитической полугруппы, если

$\Vert <!--\; \Vert \; -->tA{T}_t\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_X⩽<!--\; ⩽\; -->C,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->X,t>0,$$\|tAT_{t}\varphi \|_{X}\leqslant C,\quad \varphi \in X,\ t>0,$ 

где $C>0$$C>0$  — константа, независящая от $t$$t$ .

ЛитератураПравить

• Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
• Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967.
• Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
• Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
• Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer-Verlag, N.Y., 2000.
• Р. В. Шамин. Полугруппы операторов. М.: РУДН, 2008. — 205 с.