Экспоненциальное распределение

Экспоненциа́льное (или показа́тельное) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Показательное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),\mathcal{E}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$\mathrm {Exp} (\lambda ),{\mathcal {E}}(\lambda )$
Параметры	$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$ — интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель	$x\in <!--\; \in \; -->[0;\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$x\in [0;\infty )$
Плотность вероятности	$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x}$$\lambda e^{-\lambda x}$
Функция распределения	$1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x}$$1-e^{-\lambda x}$
Математическое ожидание	${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$\lambda ^{-1}$
Медиана	$\ln <!--\; \; -->(2)/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\ln(2)/\lambda$
Мода	$0$$0$
Дисперсия	${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{-<!--\; -\; -->2}$$\lambda ^{-2}$
Коэффициент асимметрии	$2$$2$
Коэффициент эксцесса	$6$$6$
Дифференциальная энтропия	$1-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$1-\ln(\lambda )$
Производящая функция моментов	${\left(1-<!--\; -\; -->\frac{t}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}$$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Характеристическая функция	${\left(1-<!--\; -\; -->\frac{it}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}$$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}$

ОпределениеПравить

Случайная величина $X$$X$  имеет экспоненциальное распределение с параметром $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$ , если её плотность вероятности имеет вид:

$f_{X}(x)={\begin{cases}\lambda \,e^{{-\lambda x}},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}$ .

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно $1/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$1/\lambda$ . Сам параметр $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины $X$$X$  задана первым уравнением, и будем писать: $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$X\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$ .

Функция распределенияПравить

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

$F_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{{-\lambda x}}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$ 

МоментыПравить

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

${\mathrm{M}}_X(t)={\left(1-<!--\; -\; -->\frac{t}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}$${\mathrm {M}}_{X}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{{-1}}$ ,

откуда получаем все моменты:

$\mathbb{E}\left[X^n\right]=\frac{n!}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n}$${\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}$ .

В частности,

$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$${\mathbb {E}}[X]={\frac {1}{\lambda }}$ ,

$\mathbb{E}\left[X^2\right]=\frac{2}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}$${\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}$ ,

$\mathrm{D}<!--\; \; -->[X]=\frac{1}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}$$\operatorname {D}[X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ .

Независимость событийПравить

Пусть $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$X\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$ . Тогда $\mathbb{P}(X>s+t\mid <!--\; \mid \; -->X⩾<!--\; ⩾\; -->s)=\mathbb{P}(X>t)$${\mathbb {P}}(X>s+t\mid X\geqslant s)={\mathbb {P}}(X>t)$ .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениямиПравить

• Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X.
• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$  независимые случайные величины, и $X_i\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i)$$X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda _{i})$ . Тогда:

$Y=\underset{i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n}{min}(X_i)\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i\right).$$Y=\min \limits _{i=1,\ldots ,n}(X_{i})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).$ 

• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1,1/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}).$$\mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \Gamma (1,1/\lambda ).$ 

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$  независимые случайные величины, и $X_i\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$ . Тогда:

$Y=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n,1/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}).$$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,1/\lambda ).$ 

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть $U\sim <!--\; \sim \; -->U[0,1]$$U\sim U[0,1]$ . Тогда:

$X=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\ln <!--\; \; -->U\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}).$$X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U\sim \mathrm {Exp} (\lambda ).$ 

• Экспоненциальное распределение с параметром $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=1/2$$\lambda =1/2$  — это частный случай распределения хи-квадрат:

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(1/2)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(2).$$\mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2).$ 

• Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
• Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$  независимые случайные величины, и $X_i\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$ и $Y=max{X}_1,...,X_n,Z=X_1+\frac{X_2}{2}+...+\frac{X_n}{n}$$Y=\max {X_{1},...,X_{n}},Z=X_{1}+{\frac {X_{2}}{2}}+...+{\frac {X_{n}}{n}}$ . Тогда:

$P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n}.$ 

ЛитератураПравить

• Королюк В. С., Портенко Н. И.,Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.