Поверхность Иноуэ

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности Кодайры класса VII^[en]. Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974.

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями.

Поверхности Иноуэ с b₂ = 0Править

Иноуэ привёл три семейства поверхностей, S⁰, S⁺ и S⁻, которые являются компактными факторами $\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->H$${\mathbb {C} }\times H$  (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются разрешимыми многообразиями^[en]. Они получаются как фактор $\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->H$${\mathbb {C} }\times H$  по разрешимой дискретной группе, которая действует голоморфно на $\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->H$${\mathbb {C} }\times H$ .

Все разрешимые поверхности, которые построил Иноуэ, имеют второе число Бетти $b_2=0$$b_{2}=0$ . Эти поверхности являются поверхностями Кодайры класса VII^[en], что означает, что для них $b_1=1$$b_{1}=1$  и размерность Кодайры^[en] равна $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$ . Как доказали Богомолов, Ли-Яу и Телеман, любая поверхностями класса VII^[en] с b₂ = 0 является поверхностью Хопфа или разрешимым многообразием иноуэвого типа.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций, а также кривых.

К. Хасегава привёл список всех комплексных двумерных разрешимых многообразий. Это комплексный тор, гиперэллиптическая поверхность, поверхность Кодайры^[en] и поверхности Иноуэ S⁰, S⁺ и S⁻.

Поверхности Иноуэ строятся явным образом, как описано ниже.

Поверхности типа S⁰Править

Пусть $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\alpha ,{\bar {\alpha }}$  и вещественным собственным значением c>1, при этом $|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{|}^{2}c=1$$|\alpha |^{2}c=1$ . Тогда $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  обратима в целых числах и определяет действие группы $\mathbb{Z}$${\mathbb {Z} }$  целых чисел на ${\mathbb{Z}}^3$${\mathbb {Z} }^{3}$ . Пусть $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}:={\mathbb{Z}}^3⋊<!--\; ⋊\; -->\mathbb{Z}$$\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }$ . Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

${\mathbb{R}}^3⋊<!--\; ⋊\; -->\mathbb{R}=(\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R})⋊<!--\; ⋊\; -->\mathbb{R}$${\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }$ ,

действующей на $\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R}$${\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }$ , при этом группа действует на $(\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R})$$({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })$ -часть путём переносов, а на $⋊<!--\; ⋊\; -->\mathbb{R}$$\rtimes {\mathbb {R} }$ -часть как $(z,r)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{t}z,c^{t}r)$$(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$ .

Мы расширяем это действие на $\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->H=\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R}\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{R}}^{>0}$${\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}$ , положив $v\mapsto <!--\; \mapsto \; -->e^{\log <!--\; \; -->ct}v$$v\mapsto e^{\log ct}v$ , где t — параметр $⋊<!--\; ⋊\; -->\mathbb{R}$$\rtimes {\mathbb {R} }$ -части группы ${\mathbb{R}}^3⋊<!--\; ⋊\; -->\mathbb{R}$${\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }$ . Действие тривиально на факторе ${\mathbb{R}}^3$${\mathbb {R} }^{3}$  по ${\mathbb{R}}^{>0}$${\mathbb {R} }^{>0}$ . Это действие заведомо голоморфно и фактор $\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->H/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$${\mathbb {C} }\times H/\Gamma$  называется поверхностью Иноуэ типа S⁰.

Поверхность Иноуэ S⁰ определяется выбором целочисленной матрицы $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ , с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S⁺Править

Пусть n — положительное целое число, а ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n$$\Lambda _{n}$  — группа верхних треугольных матриц

${\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},$ ,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n$$\Lambda _{n}$ , который обозначим $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ . Фактор группы ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n$$\Lambda _{n}$  по её центру C — это ${\mathbb{Z}}^2$${\mathbb {Z} }^{2}$ . Предположим, что $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  действует на ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n/C={\mathbb{Z}}^2$$\Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}$  как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_n:={\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n⋊<!--\; ⋊\; -->\mathbb{Z}$$\Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} }$ , с $\mathbb{Z}$${\mathbb {Z} }$ , действующей на ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n$$\Lambda _{n}$ , как $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ . Отождествляя группу верхних треугольных матриц с ${\mathbb{R}}^3$${\mathbb {R} }^{3}$ , мы получим действие ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_n$$\Gamma _{n}$  на ${\mathbb{R}}^3=\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R}$${\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }$ . Определим действие ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_n$$\Gamma _{n}$  на $\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->H=\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R}\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{R}}^{>0}$${\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}$  с ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n$$\Lambda _{n}$  действующим тривиально на ${\mathbb{R}}^{>0}$${\mathbb {R} }^{>0}$ -часть и $\mathbb{Z}$${\mathbb {Z} }$  действует как $v\mapsto <!--\; \mapsto \; -->e^{t\log <!--\; \; -->b}v$$v\mapsto e^{t\log b}v$ . Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа $S^0$$S^{0}$ , показывают, что это действие голоморфно. Фактор $\mathbb{C}\times <!--\; \times \; -->H/{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_n$${\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n}$ называется поверхностью Иноуэ типа $S^{+}$$S^{+}$ .

Поверхности типа S⁻Править

Поверхности Иноуэ типа $S^{-<!--\; -\; -->}$$S^{-}$  определяются тем же способом, что и S⁺, однако два собственных значения a, b автоморфизма $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ , действующего на ${\mathbb{Z}}^2$${\mathbb {Z} }^{2}$ , имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S⁺, поверхность Иноуэ типа S⁻ имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S⁺.

Параболические и гиперболические поверхности ИноуэПравить

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями Кодайры класса VII, которые определил Ику Накамура в 1984. Они не являются разрешимыми многообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Поверхности имеют сферические оболочки и могут быть деформированы в раздутие поверхности Хопфа.

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с 0 самопересечений и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, имеющих цикл рациональных кривых с нулём самопересечений, но без эллиптической кривой. Полуповерхность Иноуэ содержит цикл C рациональных кривых и является фактором гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII₀ с двумя циклами рациональных кривых.