Плоскость

Запрос «Плоскостность» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически.

Две пересекающиеся плоскости

Некоторые характеристические свойства плоскостиПравить

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
• Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

 

Плоскость и два её нормальных вектора: n₁ и n₂

Уравнения плоскостиПравить

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

$Ax+By+Cz+D=0(1)$$Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$ 

где $A,B,C$$A,B,C$  и $D$$D$  — постоянные, причём $A,B$$A,B$  и $C$$C$  одновременно не равны нулю; в векторной форме:

$(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0$$({\mathbf {r}},{\mathbf {N}})+D=0$ 

где $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$  — радиус-вектор точки $M(x,y,z)$$M(x,y,z)$ , вектор $\mathbf{N}=(A,B,C)$${\mathbf {N}}=(A,B,C)$  перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора $\mathbf{N}$${\mathbf {N}}$ :

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$$\cos \alpha ={\frac {A}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}},$ 

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$$\cos \beta ={\frac {B}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}},$ 

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$\cos \gamma ={\frac {C}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}.$ 

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При $D=0$$D=0$  плоскость проходит через начало координат, при $A=0$$A=0$  (или $B=0$$B=0$ , $C=0$$C=0$ ) плоскость параллельна оси $Ox$$Ox$  (соответственно $Oy$$Oy$  или $Oz$$Oz$ ). При $A=B=0$$A=B=0$  ($A=C=0$$A=C=0$ , или $B=C=0$$B=C=0$ ) плоскость параллельна плоскости $Oxy$$Oxy$  (соответственно $Oxz$$Oxz$  или $Oyz$$Oyz$ ).

• Уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$ 

где $a=-<!--\; -\; -->D/A$$a=-D/A$ , $b=-<!--\; -\; -->D/B$$b=-D/B$ , $c=-<!--\; -\; -->D/C$$c=-D/C$  — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox,Oy$$Ox,Oy$  и $Oz$$Oz$ .

• Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0,y_0,z_0)$$M(x_{0},y_{0},z_{0})$  ,перпендикулярной вектору нормали $\mathbf{N}(A,B,C)$${\mathbf {N}}(A,B,C)$ :

$A(x-<!--\; -\; -->x_0)+B(y-<!--\; -\; -->y_0)+C(z-<!--\; -\; -->z_0)=0;$$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;$ 

в векторной форме:

$((\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}),\mathbf{N})=0.$$(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{0}}}),{\mathbf {N}})=0.$ 

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M(x_i,y_i,z_i)$$M(x_{i},y_{i},z_{i})$ , не лежащие на одной прямой:

$((\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}),({\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}),({\mathbf{r}}_{\mathbf{3}}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}))=0$$(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{2}}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{3}}}-{\mathbf {r_{1}}}))=0$ 

(смешанное произведение векторов), иначе

$\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.$ 

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

$x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+z\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->p=0(2)$$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)$ 

в векторной форме:

$(\mathbf{r},{\mathbf{N}}^{\mathbf{0}})\mathbf{-<!--\; -\; -->}\mathbf{p}=0,$$({\mathbf {r}},{\mathbf {N^{0}}}){\mathbf {-p}}=0,$ 

где ${\mathbf{N}}^{\mathbf{0}}$${\mathbf {N^{0}}}$ - единичный вектор, $p$$p$  — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$\mu =\pm {\frac {1}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$ 

(знаки $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  и $D$$D$  противоположны).

Определение по точке и вектору нормалиПравить

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, $r_0$$r_{0}$  является радиусом-вектором точки $P_0$$P_0$ , заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка $P$$P$  с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от $P_0$$P_0$  к $P$$P$ , перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

$\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_0)=0.$$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$  (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

$n_x(x-<!--\; -\; -->x_0)+n_y(y-<!--\; -\; -->y_0)+n_z(z-<!--\; -\; -->z_0)=0,$$n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,$ 

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости $P(2,6,-<!--\; -\; -->3)$$P(2,6,-3)$  и вектор нормали $N(9,5,2)$$N(9,5,2)$ .

Уравнение плоскости записывается так:

$9(x-<!--\; -\; -->2)+5(y-<!--\; -\; -->6)+2(z+3)=0$$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$ 

$-<!--\; -\; -->18+9x-<!--\; -\; -->30+5y+6+2z=0$$-18+9x-30+5y+6+2z=0$ 

$9x+5y+2z-<!--\; -\; -->42=0$$9x+5y+2z-42=0$ 

Расстояние от точки до плоскостиПравить

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки $M_1(x_1,y_1,z_1)$$M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$  от плоскости заданной нормированным уравнением $(2)$$(2)$ 

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=x_1\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y_1\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+z_1\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->p;$$\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;$ 

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ ,если $M_1$$M_{1}$  и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае $\delta <0$ . Расстояние от точки до плоскости равно $|\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}|.$$|\delta |.$ 

• Расстояние $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  от точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$$M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ , до плоскости, заданной уравнением $ax+by+cz+d=0$$ax+by+cz+d=0$ , вычисляется по формуле:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{\mid <!--\; \mid \; -->a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\mid <!--\; \mid \; -->}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$ 

Расстояние между параллельными плоскостямиПравить

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями $Ax+By+Cz+D_1=0$$Ax+By+Cz+D_{1}=0$  и $Ax+By+Cz+D_2=0$$Ax+By+Cz+D_{2}=0$ :

$d=\frac{\mid <!--\; \mid \; -->D_2-<!--\; -\; -->D_1\mid <!--\; \mid \; -->}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$ 

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r_1})=0$${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{1}}})=0$  и $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r_2})=0$${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{2}}})=0$ :

$d=\frac{\mid <!--\; \mid \; -->[{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}}_2-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}}_1,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}]\mid <!--\; \mid \; -->}{\mid <!--\; \mid \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}\mid <!--\; \mid \; -->}$$d={\frac {\mid [{\bar r}_{2}-{\bar r}_{1},{\bar n}]\mid }{\mid {\bar n}\mid }}$ 

 

Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E₃ проходит через линию пересечения плоскостей E₁ и E₂, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятияПравить

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2)(A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};$$\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}}};$ 

Если в векторной форме, то

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{({\mathbf{N}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{N}}_{\mathbf{2}})}{|{\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}||{\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}|}.$$\cos \varphi ={\frac {({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})}{|{\mathbf {N_{1}}}||{\mathbf {N_{2}}}|}}.$ 

• Плоскости параллельны, если

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}$  или $[{\mathbf{N}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}]=0.$$[{\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}}]=0.$  (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны, если

$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$$A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0$  или $({\mathbf{N}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{N}}_{\mathbf{2}})=0$$({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})=0$ . (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид:

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0,$$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

• Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_3)=0,$$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщенияПравить

Плоскости в неевклидовом пространствеПравить

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости.

Многомерные плоскостиПравить

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство $K^n(V,P)$$K^{n}(V,P)$ , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат $O,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_1},...,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e_n}$$O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ . m-плоскостью называется множество точек $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\{x\mid <!--\; \mid \; -->x=A_{nm}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{t_m}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d}\}.$$\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$  $A_{nm}$$A_{{nm}}$  — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{t}$${\vec {t}}$  — вектор переменных, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{d}$${\vec {d}}$  — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
$x=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_1}{t}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_m}{t}_m+d,\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_i}\in <!--\; \in \; -->V$$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}}\in V$  — векторное уравнение m-плоскости.
Вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a_i}$${\vec {a_{i}}}$  образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\alpha ,\beta$  называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}:x\notin <!--\; \notin \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\exists x\in \alpha :x\notin \beta$ .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n}$${\vec {n}}$  — нормальный вектор плоскости, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}=(x^1,...,x^n)$${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$  — вектор переменных, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r_0}$${\vec {r_{0}}}$  — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
$(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r_0},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{n})=0$$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$  — общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: $det(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r_0}|A_{n,n-<!--\; -\; -->1})=0$$\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$ , или:
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{{0}}^{1}&a_{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n-1}}^{1}\\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n-1}}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}\end{vmatrix}}=0$ .
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\{a_x,a_y,a_z\}t+\{b_x,b_y,b_z\}$$\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$ . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. такжеПравить

• Сагиттальная плоскость
• Полуплоскость
• Пространство

ЛитератураПравить

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
• Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.

СсылкиПравить

•   На Викискладе есть медиафайлы по теме Плоскость