Геометрия Римана

Не следует путать с Римановой геометрией.

Геометрия Римана (называемая также эллиптическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий постоянной кривизны (другие — это геометрия Лобачевского и сферическая геометрия). Если геометрия Евклида реализуется в пространстве с нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с отрицательной, то геометрия Римана реализуется в пространстве с постоянной положительной кривизной (в двумерном случае — на проективной плоскости и локально на сфере).

В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но в геометрии Римана нет параллельных прямых. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+S/R^2,$$\Sigma =\pi +{S}/{R^{2}},$ где $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ — сумма углов треугольника, $R$$R$ — радиус сферы, на которой реализована геометрия.

Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Двумерная геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. При отождествлении противоположных точек сферы получается проективная плоскость, геометрия которой удовлетворяет аксиомам геометрии Римана.

Именно, рассмотрим сферу $S$$S$ с центром в точке $O$$O$ в трёхмерном пространстве $E$$E$. Каждая точка $A\in <!--\; \in \; -->S$$A\in S$ вместе с центром сферы $O$$O$ определяет некоторую прямую $l\subset <!--\; \subset \; -->E$$l\subset E$, то есть некоторую точку $A_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A_{*}$ проективной плоскости $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$. Сопоставление $A\to <!--\; \to \; -->A_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A\to A_{*}$ определяет отображение $S\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$S\to \Pi$, большие круги на $S$$S$ (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$, при этом в одну точку $A_{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$A_{*}\in \Pi$ переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой $A\in <!--\; \in \; -->S$$A\in S$ и диаметрально противоположная ей точка $A^{\prime }\in <!--\; \in \; -->S$$A'\in S$ (см. рисунок). Евклидовы движения пространства $E$$E$, переводящие сферу $S$$S$ в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$, которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.

Одно из отличий геометрии Римана от евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского состоит в том, что в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B» (в сферической геометрии это понятие также отсутствует). Действительно, на прямую проективной плоскости $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$ отображается большой круг на сфере $S$$S$, причём две диаметрально противоположные точки сферы $A$$A$ и $A^{\prime }$$A'$ переходят в одну точку $A_{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$A_{*}\in \Pi$. Аналогично, точки $B,B^{\prime }$$B,B'$ переходят в одну точку $B_{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$B_{*}\in \Pi$ и точки $C,C^{\prime }$$C,C'$ переходят в одну точку $C_{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$C_{*}\in \Pi$. Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка $C_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$C_{*}$ лежит между $A_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A_{*}$ и $B_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$B_{*}$ и что она не лежит между ними (см. рисунок).

ЛитератураПравить

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
• Берже М. Геометрия. / Пер. с франц. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.