Правильный многогранник

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Платоновы тела

ОпределениеПравить

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;
2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Список правильных многогранниковПравить

В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников (упорядочены по числу граней):

Изображение	Правильный многогранник	Число вершин	Число рёбер	Число граней	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Тип пространственной симметрии
	Тетраэдр	4	6	4	3	3	Td
	Гексаэдр	8	12	6	4	3	Oh
	Октаэдр	6	12	8	3	4	Oh
	Додекаэдр	20	30	12	5	3	Ih
	Икосаэдр	12	30	20	3	5	Ih

Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань».

ИсторияПравить

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360 год до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Огню соответствовал тетраэдр, земле — гексаэдр, воздуху — октаэдр, воде — икосаэдр. Данные сопоставления пояснялись следующими ассоциациями: жар огня ощущается чётко и остро, как пирамидки-тетраэдры; мельчайшие компоненты воздуха октаэдры настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков, к которым ближе всего икосаэдры; в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики-гексаэдры составляют землю, которые являются причиной того, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Аристотель добавил пятый элемент — эфир — и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Математик из Базельского университета Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

Комбинаторные свойстваПравить

• Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

  В + Г = Р + 2.

• Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

• Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

  p — число рёбер в каждой грани;

  q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Многогранник	Вершины	Рёбра	Грани	Символ Шлефли
тетраэдр		4	6	4	{3, 3}
гексаэдр (куб)		8	12	6	{4, 3}
октаэдр		6	12	8	{3, 4}
додекаэдр		20	30	12	{5, 3}
икосаэдр		12	30	20	{3, 5}

• Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

  $p\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=2\text{P}=q\text{B}.$$p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.$ 

Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

$\text{B}=\frac{4p}{4-<!--\; -\; -->(p-<!--\; -\; -->2)(q-<!--\; -\; -->2)},\text{P}=\frac{2pq}{4-<!--\; -\; -->(p-<!--\; -\; -->2)(q-<!--\; -\; -->2)},\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}=\frac{4q}{4-<!--\; -\; -->(p-<!--\; -\; -->2)(q-<!--\; -\; -->2)}.$${\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.$ 

Геометрические свойстваПравить

УглыПравить

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

$\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}=\frac{\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/q)}{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/p)}.$$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.$ 

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

$\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}=\frac{\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/q)}{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/h)},$$\operatorname {tg}\,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}},$ 

где $h$$h$  принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  при любой вершине правильного многогранника:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->q\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{2}{p}\right).$$\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).$ 

По теореме Декарта, он равен $4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$  делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен $4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$ ).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=q\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->(q-<!--\; -\; -->2)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$\Omega =q\theta -(q-2)\pi .$ 

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ($4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$  стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$  — золотое сечение.

Многогранник	Двугранный угол θ	$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}$$\operatorname {tg}{\frac {\theta }{2}}$	Плоский угол между рёбрами при вершине	Угловой дефект (δ)	Телесный угол при вершине (Ω)	Телесный угол, стягиваемый гранью
тетраэдр	70.53°	$\frac{1}{\sqrt{2}}$${1 \over {{\sqrt 2}}}$	60°	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$	$\arccos <!--\; \; -->\left(\frac{23}{27}\right)$$\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)$	$\approx <!--\; \approx \; -->0.551286$$\approx 0.551286$	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$
куб	90°	1	90°	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$${\pi \over 2}$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$${\frac {\pi }{2}}$	$\approx <!--\; \approx \; -->1.57080$$\approx 1.57080$	$\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${2\pi \over 3}$
октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°	$\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${{2\pi } \over 3}$	$4\arcsin <!--\; \; -->\left(\frac{1}{3}\right)$$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)$	$\approx <!--\; \approx \; -->1.35935$$\approx 1.35935$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}$${\pi \over 2}$
додекаэдр	116.57°	$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$	108°	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}$${\pi \over 5}$	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\left(\frac{2}{11}\right)$$\pi -\operatorname {arctg}\left({\frac {2}{11}}\right)$	$\approx <!--\; \approx \; -->2.96174$$\approx 2.96174$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\pi \over 3}$
икосаэдр	138.19°	${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2$$\varphi ^{2}$	60°, 108°	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\pi \over 3}$	$2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->5\arcsin <!--\; \; -->\left(\frac{2}{3}\right)$$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)$	$\approx <!--\; \approx \; -->2.63455$$\approx 2.63455$	$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}$${\pi \over 5}$

Радиусы, площади и объёмыПравить

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
• Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной ($R$$R$ ) и вписанной ($r$$r$ ) сфер задаются формулами:

$R=\frac{a}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2}$$R={a \over 2}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2}}$ 

$r=\frac{a}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{p}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2},$$r={a \over 2}\cdot \operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2}},$ 

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{a\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/p)}{2\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/h)},$$\rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h)}},$ 

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

$\frac{R}{r}=\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{p}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{q}.$${R \over r}=\operatorname {tg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q}}.$ 

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

$S={\left(\frac{a}{2}\right)}^2\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}p\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{p}.$$S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p}}.$ 

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

$V=\frac{1}{3}rS.$$V={1 \over 3}rS.$ 

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр	$\frac{1}{\sqrt{6}}$${1 \over {{\sqrt 6}}}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$${1 \over {{\sqrt 2}}}$	$\sqrt{\frac{3}{2}}$${\sqrt {3 \over 2}}$	$4\sqrt{3}$$4{\sqrt 3}$	$\frac{2\sqrt{2}}{3}$${\frac {2{\sqrt 2}}{3}}$
куб	$1$$1$	$\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$	$\sqrt{3}$${\sqrt {3}}$	$24$$24$	$8$$8$
октаэдр	$\sqrt{\frac{2}{3}}$${\sqrt {2 \over 3}}$	$1$$1$	$\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$	$8\sqrt{3}$$8{\sqrt 3}$	$\frac{8\sqrt{2}}{3}$${\frac {8{\sqrt 2}}{3}}$
додекаэдр	$\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2$$\varphi ^{2}$	$\sqrt{3}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$${\sqrt 3}\,\varphi$	$60\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$$60{\frac {\varphi }{\xi }}$	$20\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^3}{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2}$$20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}$
икосаэдр	$\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2}{\sqrt{3}}$${\frac {\varphi ^{2}}{{\sqrt 3}}}$	$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$	$\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\xi \varphi$	$20\sqrt{3}$$20{\sqrt 3}$	$\frac{20{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2}{3}$${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}$

Константы φ и ξ задаются выражениями

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=2\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{5}=\sqrt{\frac{5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}{2}}=5^{1/4}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1/2}=\sqrt{3-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}.$$\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi }}.$ 

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

В больших размерностяхПравить

Основная статья: Правильные многомерные многогранники

В четырёхмерном пространстве существует шесть правильных многогранников (многоячейников):

Пятиячейник

Тессеракт

Шестнадцатиячейник

Двадцатичетырёхъячейник

Стодвадцатиячейник

Шестисотячейник

Но в каждом из пространств более высоких размерностей $n>4$$n>4$  существует по три правильных многогранника (политопа):

• n-мерный правильный симплекс
• n-мерный гиперкуб
• n-мерный гипероктаэдр

См. такжеПравить

• Правильный многоугольник
• Полуправильный многогранник
• Многогранник Джонсона
• Звёздчатый многогранник
• Двойственный многогранник
• Правильные многомерные многогранники

СсылкиПравить

• Смирнов Е. Ю. Группы Кокстера и правильные многогранники // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
• Weisstein, Eric W. Platonic Solids (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Фанаты математики/геометрия. (англ.)
• Бумажные модели правильных многогранников. (англ.)
• Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела. (англ.)
• Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо. (англ.)
• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — 236 с.
• Гончар В. В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2.
• Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8.