Периодическая функция

Периодическая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом $T=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$T=2\pi$.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом $T\ne <!--\; \ne \; -->0$$T\neq 0$, если для каждой точки $x$$x$ из её области определения точки $x+T$$x+T$ и $x-<!--\; -\; -->T$$x-T$ также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство $f(x)=f(x+T)=f(x-<!--\; -\; -->T)$$f(x)=f(x+T)=f(x-T)$.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство $f(x)=f(x+nT)$$f(x)=f(x+nT)$, где $n$$n$ — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определениеПравить

Пусть $M$$M$  есть абелева группа (обычно предполагается $M=(\mathbb{R},+)$$M=(\mathbb {R} ,+)$  — вещественные числа с операцией сложения или $(\mathbb{C},+)$$(\mathbb {C} ,+)$  — комплексные числа). Функция $f:M\to <!--\; \to \; -->N$$f:M\to N$  (где $N$$N$  — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом $T\ne 0$$T\not =0$  , если справедливо

$f(x+T)=f(x),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->M$$f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M$ .

Если это равенство не выполнено ни для какого $T\in <!--\; \in \; -->M,T\ne 0$$T\in M,\,T\not =0$  , то функция $f$$f$  называется апериоди́ческой.

Если для функции $f:\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->N$$f:\mathbb {C} \to N$  существуют два периода $T_1,T_2\ne 0$$T_{1},T_{2}\not =0$ , отношение которых не равно вещественному числу, то есть $\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb{R}$${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R}$ , то $f$$f$  называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения $f$$f$  на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на $T_1,T_2$$T_{1},T_{2}$ .

ЗамечаниеПравить

Период функции определён неоднозначно. В частности, если $T$$T$  — период, то и любой элемент $T^{\prime }$$T'$  вида $T^{\prime }=\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{T+\cdots <!--\; \cdots \; -->+T}}$$T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}$  (или $T^{\prime }=nT$$T'=nT$ , если в области определения функции определена операция умножения), где $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов $\{T,T>0,T\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\}$$\{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}$  имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

ПримерыПравить

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  , так как

$\sin <!--\; \; -->(x+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})=\sin <!--\; \; -->x,\cos <!--\; \; -->(x+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})=\cos <!--\; \; -->x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.$$\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .$ 

• Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ .

• Функция $f(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^x$$f(x)=(-1)^{x}$ , определённая на целых числах, является периодической с основным периодом $2$$2$ .

• Функция, равная константе $f(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$f(x)=\mathrm {const}$ , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.

• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.

• Функция $f(x)=x^2,x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R}$  является апериодической.

Некоторые особенности периодических функцийПравить

• Сумма двух функций с соизмеримыми периодами $T_1$$T_{1}$  и $T_2$$T_{2}$  не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному $T_1$$T_{1}$  и $T_2$$T_{2}$  (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции $f(x)=\sin <!--\; \; -->(2x)-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->(3x)$$f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$  основной период равен $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ , у функции $g(x)=\sin <!--\; \; -->(3x)$$g(x)=\sin(3x)$  период равен $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/3$$2\pi /3$ , а у их суммы $f(x)+g(x)=\sin <!--\; \; -->(2x)$$f(x)+g(x)=\sin(2x)$  основной период, очевидно, равен $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ .

• Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.

• Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции $f(x)$$f(x)$ , принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. такжеПравить

• Квазипериодическая функция

СсылкиПравить

• Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)