Переходные процессы в электрических цепях

Перехо́дные проце́ссы — процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, — при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Например, при подключении разряженного конденсатора $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C$ $C$ к источнику напряжения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U_{0}$ $U_{0}$ через резистор $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $R$ $R$ , напряжение на конденсаторе меняется от 0 до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U_{0}$ $U_{0}$ по закону:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U_{c}(t)=U_{0}(1-e^{-t/\tau })$ $U_{c}(t)=U_{0}(1-e^{-t/\tau })$ ^[1]

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\tau =RC$ $\tau =RC$ (постоянная времени).

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи. Иными словами, конденсатор не может запастись энергией мгновенно, а если бы мог — для этого потребовался источник энергии бесконечной мощности.

Стандартные идеализированные воздействия при анализе отклика математической модели цепи — это ступенчатая функция Хевисайда и импульсная функция Дирака.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением

неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Время установления в новое стационарное состояниеПравить

Переходные процессы могут продолжаться от долей наносекунд до нескольких лет. Продолжительность зависит от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Законы (правила) коммутацииПравить

Первый закон коммутацииПравить

Ток, протекающий через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i_{L}(0_{-})$ , равен току, протекающему во время коммутации, и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i_{L}(0_{+})$ , так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i_{L}(0_{-})=i_{L}(0)=i_{L}(0_{+})$

Второй закон коммутацииПравить

Напряжение на емкостном элементе С непосредственно до коммутации $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $u_{C}(0_{-})$ равно напряжению во время коммутации, и напряжению на емкостном элементе непосредственно после коммутации $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $u_{C}(0_{+})$ , так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $u_{C}(0_{-})=u_{C}(0)=u_{C}(0_{+})$

При этом ток в конденсаторе изменяется скачкообразно.

ПримечаниеПравить

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=0_{-}$ — время непосредственно до коммутации.
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=0$ — непосредственно во время коммутации.
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=0_{+}$ — время непосредственно после коммутации.

Начальные значения величинПравить

Начальные значения (условия) — значения токов и напряжений в схеме при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=0$ .

Напряжения на индуктивных элементах и резисторах, а также токи, протекающие через конденсаторы и резисторы, могут изменяться скачком, то есть их значения после коммутации $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=0_{+}$ чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=0_{-}$ .

Независимые начальные значения — это значения токов, протекающих через индуктивные элементы, и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима.

Зависимые начальные значения — это значения остальных токов и напряжений при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t=0_{+}$ в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа.

Методы расчёта переходных процессовПравить

Классический метод (решение дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики).
Операторный метод (перенос расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t$ ) в область функций комплексного переменного, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические).
Метод переменных состояния (составление и решение системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных. Число переменных состояний равно числу независимых накопителей энергии).

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6

Бессонов Л.А. Гл. 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях // Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник. — 11-е изд., перераб. и доп.. — М.: "Гардарики", 2007. — С. 231, 235-236. — 701 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8297-0046-8, ББК 31.21, УДК 621.3.013(078.5).

СсылкиПравить

Переходные процессы в линейных электрических цепях. на http://www.ups-info.ru

ПримечанияПравить

↑ Пример расчёта простейших переходных процессов изложен в статье Операционное исчисление.

[1] Пример расчёта простейших переходных процессов изложен в статье Операционное исчисление.

[1]