Пентагональный икоситетраэдр

Пентагона́льный икоситетра́эдр (от др.-греч. πέντε — «пять», γωνία — «угол», εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому кубу. Составлен из 24 одинаковых неправильных пятиугольников.

Пентагональный икоситетраэдр
«Правый» вариант (вращающаяся модель, 3D-модель)
«Левый» вариант (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный, хиральный
Комбинаторика
Элементы	24 грани 60 рёбер 38 вершин Χ = 2
Грани	неправильные пятиугольники:
Конфигурация вершины	8+24(53) 6(54)
Конфигурация грани	V3.3.3.3.4
Двойственный многогранник	курносый куб
Развёртка Развёртка для «левого» варианта
Классификация
Обозначения	gC
Группа симметрии	O (хиральная октаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Имеет 38 вершин. В 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани своими острыми углами; в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 24 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

• 

  6 вершин расположены так же, как вершины октаэдра

• 

  8 вершин расположены так же, как вершины куба

У пентагонального икоситетраэдра 60 рёбер — 24 «длинных» и 36 «коротких».

В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный икоситетраэдр (наряду с пентагональным гексеконтаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Метрические характеристики и углыПравить

При определении метрических свойств пентагонального икоситетраэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому пентагональный икоситетраэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для пентагонального гексеконтаэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.

Как и для курносого куба, при описании метрических свойств и углов пентагонального икоситетраэдра важную роль играет константа трибоначчи:

$t=\frac{1}{3}\left(1+\sqrt[3]{19-<!--\; -\; -->3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right)\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,839}2868.$$t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1{,}8392868.$ 

 

Грань пентагонального икоситетраэдра

Если три «коротких» стороны грани имеют длину $b$$b$ , то две «длинных» стороны имеют длину

$a=\frac{t+1}{2}b\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,419}6434b.$$a={\frac {t+1}{2}}b\approx 1{,}4196434b.$ 

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S=3(t+1)\sqrt{\frac{22(5t-<!--\; -\; -->1)}{4t-<!--\; -\; -->3}}{b}^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{54,796}5494b^2,$$S=3(t+1){\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}\;b^{2}\approx 54{,}7965494b^{2},$ 

$V=\frac{t(3t+1)}{(t-<!--\; -\; -->1)\sqrt{2-<!--\; -\; -->t}}{b}^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{35,630}2020b^3.$$V={\frac {t(3t+1)}{(t-1){\sqrt {2-t}}}}\;b^{3}\approx 35{,}6302020b^{3}.$ 

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t+1}{(3-<!--\; -\; -->t)(2-<!--\; -\; -->t)}}b\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,950}6813b,$$r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {t+1}{(3-t)(2-t)}}}\;b\approx 1{,}9506813b,$ 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t+1}{2-<!--\; -\; -->t}}b\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,101}5939b,$$\rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {t+1}{2-t}}}\;b\approx 2{,}1015939b,$ 

радиус окружности, вписанной в грань —

$r_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\mathrm{P}}=\sqrt{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2-<!--\; -\; -->r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t+1}{3-<!--\; -\; -->t}}b\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,782}0097b,$$r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {t+1}{3-t}}}\;b\approx 0{,}7820097b,$ 

диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —

$e=tb\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,839}2868b.$$e=tb\approx 1{,}8392868b.$ 

Описать около пентагонального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Все четыре тупых угла грани равны $\arccos \frac{1-<!--\; -\; -->t}{2}\approx <!--\; \approx \; -->114,{81}^{\circ <!--\; \circ \; -->};$$\arccos \,{\frac {1-t}{2}}\approx 114{,}81^{\circ };$  острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен $\arccos (2-<!--\; -\; -->t)\approx <!--\; \approx \; -->80,{75}^{\circ <!--\; \circ \; -->}.$$\arccos \,(2-t)\approx 80{,}75^{\circ }.$ 

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \frac{t-<!--\; -\; -->1}{t-<!--\; -\; -->3}\approx <!--\; \approx \; -->136,{31}^{\circ <!--\; \circ \; -->}.$$\arccos \,{\frac {t-1}{t-3}}\approx 136{,}31^{\circ }.$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Пентагональный икоситетраэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.