Параметризованный постньютоновский формализм

Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — версия постньютоновского формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света $c^{-<!--\; -\; -->2}$$c^{{-2}}$ (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем двойных пульсаров.

ИсторияПравить

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела. Нордтведт^[en] (Nordtvedt, 1968, 1969) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса.

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни^[en] (Ni, 1972), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972), Мизнера, Торна и Уилера Гравитация, и Уилла, и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)Править

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности. В обозначениях Уилла (Will, 1971), Ни (Ni, 1972) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973) ППН параметры имеют условно следующее значение:

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$	Насколько сильная пространственная кривизна в $g_{ij}$$g_{ij}$  генерируется единицей массы покоя?
$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$	Насколько велика нелинейность в $g_{00}$$g_{{00}}$  при сложении гравитационных полей?
${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1$$\beta _{1}$	Как много тяготения в $g_{00}$$g_{{00}}$  производится единицей кинетической энергии $\frac{1}{2}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0{v}^2$$\textstyle\frac12\rho_0v^2$ ?
${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2$$\beta _{2}$	Как много тяготения в $g_{00}$$g_{{00}}$  производится единицей гравитационной потенциальной энергии ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0/U$$\rho_0/U$ ?
${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_3$$\beta_3$	Как много тяготения в $g_{00}$$g_{{00}}$  производится единицей внутренней энергии тела ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\rho_0\Pi$ ?
${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_4$$\beta_4$	Как много тяготения в $g_{00}$$g_{{00}}$  производится единицей давления $p$$p$ ?
$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$$\zeta$	Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в $g_{00}$$g_{{00}}$
$\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\eta$	Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в $g_{00}$$g_{{00}}$
${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1$$\Delta_1$	Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в $g_{0j}$$g_{0j}$  производится единицей импульса ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{0}v$$\rho_0v$ ?
${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2$$\Delta_2$	Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

$g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$g_{\mu \nu }$  — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы $i$$i$  и $j$$j$  пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_3={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_4={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2=1$$\gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1$  и $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=0$$\zeta =\eta =0$ .

Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation)Править

В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972), используемой также в работах Уилла (1981, 2014), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma=\gamma$ ,

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta=\beta$ ,

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1=7{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1+{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2-<!--\; -\; -->4\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->4$$\alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4$ ,

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2+\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}-<!--\; -\; -->1$$\alpha_2=\Delta_2+\zeta-1$ ,

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3=4{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$$\alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta$ ,

${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1=\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$$\zeta_1=\zeta$ ,

${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2=2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+2{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2-<!--\; -\; -->3\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1$$\zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1$ ,

${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_3={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_3-<!--\; -\; -->1$$\zeta_3=\beta_3-1$ ,

${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_4={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_4-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\zeta_4=\beta_4-\gamma$ ,

$\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  получается из $3\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=12\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->3\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->9+10\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->3{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+2{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2$$3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2$ .

Смысл параметров ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1$$\alpha _{1}$ , ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$$\alpha_2$  и ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3$$\alpha _{3}$  при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира). ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1$$\zeta _{1}$ , ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2$$\zeta _{2}$ , ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_3$$\zeta _{3}$ , ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_4$$\zeta _{4}$  и ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3$$\alpha _{3}$  измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\gamma=\beta=1$  и ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3={\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1={\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2={\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_3={\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_4=\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=0$$\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0$ .

Вид метрики альфа-дзета варианта:

$\begin{array}{c}{g}_{00}=-<!--\; -\; -->1+2U-<!--\; -\; -->2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{U}^2-<!--\; -\; -->2\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_W+(2\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+2+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3+{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}){\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_1+2(3\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1+{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2+\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}){\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_2\\ +2(1+{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_3){\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_3+2(3\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+3{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_4-<!--\; -\; -->2\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}){\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_4-<!--\; -\; -->({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})A-<!--\; -\; -->({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3)w^{2}U\\ -<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{w}^i{w}^j{U}_{ij}+(2{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1)w^i{V}_i+O({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^3)\end{array}$$\begin{matrix}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1-2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^3) \end{matrix}$ 

$g_{0i}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(4\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+3+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2+{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})V_i-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1+2\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})W_i-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2)w^{i}U-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{w}^j{U}_{ij}+O({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{\frac{5}{2}}),$$g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i -\textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;,$ 

$g_{ij}=(1+2\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}U){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}+O({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2)$$g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;$ ,

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2$$\varepsilon^2$  определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала $U$$U$ , квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), $w^i$$w^i$  — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, $w^2=w^i{w}^j{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$w^2=w^iw^j\delta_{ij}$  — квадрат этой скорости, а ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}=1$$\delta_{ij}=1$  если $i=j$$i=j$  и $0$$0$  в противоположном случае — символ Кронекера.

Есть только десять простых метрических потенциалов: $U$$U$ , $U_{ij}$$U_{ij}$ , ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_W$$\Phi_W$ , $A$$A$ , ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_1$$\Phi _{1}$ , ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_2$$\Phi _{2}$ , ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_3$$\Phi_3$ , ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_4$$\Phi_4$ , $V_i$$V_i$  и $W_i$$W_i$ , столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например,

$U(\mathbf{x},t)=\int <!--\; \int \; -->\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0}{|\mathbf{x}-<!--\; -\; -->{\mathbf{x}}^{\prime }|}{d}^3{x}^{\prime }.$$U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'.$ 

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973), Уилла (1981, 2014) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитацииПравить

Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981. Процесс состоит из девяти стадий:

• Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика $g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$g_{\mu \nu }$ , гравитационное скалярное $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ , векторное $K_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$K_{\mu }$  и/или тензорное поле $B_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$B_{\mu \nu }$  и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\eta _{{\mu \nu }}$ , космологическое время $t$$t$  и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.

• Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем $g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{(0)}=\text{diag}(-<!--\; -\; -->c_0,c_1,c_1,c_1)$$g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$ , ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0$$\phi _{0}$ , $K_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{(0)}$$K_{\mu }^{(0)}$ , $B_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{(0)}$$B_{\mu \nu }^{(0)}$ .

• Шаг 3: Вводим новые переменные $h_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{(0)}$$h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}$ , а если необходимо, то и $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0$$\phi -\phi _{0}$ , $K_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->K_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{(0)}$$K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}$ , $B_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->B_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{(0)}$$B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}$ .

• Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для $h_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$h_{\mu \nu }$  и прочих динамических гравитационных переменных.

• Шаг 5: Решаем уравнения для $h_{00}$$h_{00}$  с точностью до $O(2)$$O(2)$ . Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму $h_{00}=2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}U$$h_{00}=2\alpha U$ , где $U$$U$  — гравитационный потенциал Ньютона, а $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» $G$$G$ . Ньютонова метрика имеет форму $g_{00}=-<!--\; -\; -->c_0+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}U$$g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$ , $g_{0j}=0$$g_{0j}=0$ , $g_{ij}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}{c}_1$$g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}$ . Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице $G_{\text{today}}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/c_0{c}_1=1$$G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$ .

• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем $h_{ij}$$h_{ij}$  с точностью до $O(2)$$O(2)$  и $h_{0j}$$h_{0j}$  с точностью до $O(3)$$O(3)$ .

• Шаг 7: Находим $h_{00}$$h_{00}$  с точностью до $O(4)$$O(4)$ . Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.

• Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.

• Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику $g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$g_{\mu \nu }$  с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитацииПравить

Основная статья: Альтернативные теории гравитации § ППН параметры для различных теорий

Основной источник: Уилл (1981, 2014)

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна $\mathbf{g}=f\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}$  и поэтому $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=-<!--\; -\; -->1$$\gamma =-1$ , что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, теории Йилмаза^[en], метрика равна $\mathbf{g}=f_1\mathbf{d}t\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{d}t+f_2\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}$  и, следовательно, ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1=-<!--\; -\; -->4(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+1)$$\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$ , что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\xi =\beta$ . Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  и ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$$\alpha_2$ , то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ .

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$$\alpha_2$  не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}$ , и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{1+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{2+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$$\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$ . Предел $\gamma -1<2.3\times 10^{-5}$  даёт очень малое $1/\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$1/\omega$ , которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$$\alpha_2$  не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}$ , так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметрыПравить

Значения взяты из обзора Уилла, 2014

Параметр	Границы	Эффекты	Эксперимент
$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1$$\gamma-1$	$2.3\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}$$2.3\cdot 10^{-5}$	Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света	Траектория «Кассини — Гюйгенса»
$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->1$$\beta-1$	$8\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}$$8\cdot 10^{-5}$	Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия	Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе
$\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$	$4\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->9}$$4\cdot 10^{-9}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1$$\alpha _{1}$	$4\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}$$4\cdot 10^{-5}$	Сдвиг плоскости орбиты	Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333
${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$$\alpha_2$	$2\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->9}$$2\cdot 10^{-9}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3$$\alpha _{3}$	$4\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->20}$$4\cdot 10^{-20}$	Самоускорение	Статистика замедления пульсаров
${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1$$\zeta _{1}$	$0.02$$0.02$	-	Комбинированный предел разных экспериментов
${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2$$\zeta _{2}$	$4\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}$$4\cdot 10^{-5}$	Ускорение двойных пульсаров	PSR 1913+16
${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_3$$\zeta _{3}$	${10}^{-<!--\; -\; -->8}$$10^{{-8}}$	Третий закон Ньютона	Ускорение Луны
${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_4$$\zeta _{4}$	$0.006$$0.006$ ‡	-	Не является независимым

‡ По $6{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_4=3{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3+2{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->3{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_3$$6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3$  из работ Уилла (1976, 2014). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел $|\zeta_4|< 0.4$  из статьи Ни (1972).

ЛитератураПравить

Основная

• Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
• Will C. M. The Confrontation between General Relativity and Experiment (англ.) // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — doi:10.12942/lrr-2014-4. — Bibcode: 2014LRR....17....4W. — arXiv:1403.7377. Архивировано 19 марта 2015 года.

Дополнительная

• Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
• Эддингтон А. С. Теория относительности. — Л.-М.: ГТТИ, 1934. — Перевод Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 176. — P. 769. — doi:10.1086/151677. — Bibcode: 1972ApJ...176..769N.
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — doi:10.1103/PhysRev.169.1017. — Bibcode: 1968PhRv..169.1017N.
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure (англ.) // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — doi:10.1103/PhysRev.180.1293. — Bibcode: 1969PhRv..180.1293N.
• Will C. M. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1971. — Vol. 163. — P. 611. — doi:10.1086/150804. — Bibcode: 1971ApJ...163..611W.
• Will C. M. Active mass in relativistic gravity - Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1976. — Vol. 204. — P. 224—234. — doi:10.1086/154164. — Bibcode: 1976ApJ...204..224W.
• Will C. M., Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 177. — P. 757. — doi:10.1086/151754. — Bibcode: 1972ApJ...177..757W.

См. такжеПравить

• Линеаризованная гравитация
• Проверка общей теории относительности
• Параметры Пескина — Такэути — аналог ППН формализма в электрослабой теории