Парадокс Кантора

Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

ФормулировкаПравить

Предположим, что множество всех множеств $V=\{x\mid <!--\; \mid \; -->x=x\}$$V=\{x\mid x=x\}$  существует. В этом случае справедливо $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}T(x\in <!--\; \in \; -->T\to <!--\; \to \; -->x\in <!--\; \in \; -->V)$$\forall x\forall T(x\in T\rightarrow x\in V)$ , то есть всякое множество $T$$T$  является подмножеством $V$$V$ . Но из этого следует $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}T|T|⩽<!--\; ⩽\; -->|V|$$\forall T\;|T|\leqslant |V|$  — мощность любого множества не превосходит мощности $V$$V$ .

Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для $V$$V$ , как и любого множества, существует множество всех подмножеств $\mathcal{P}(V)$${\mathcal {P}}(V)$ , и по теореме Кантора $|\mathcal{P}(V)|=2^{|V|}>|V|$$|{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|$ , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, $V$$V$  не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->A)$$\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)$  для любой формулы $A$$A$ , не содержащей $y$$y$  свободно.

Другая формулировкаПравить

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ . Тогда по теореме Кантора $2^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}>\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$2^{\mu }>\mu$ .

ВыводыПравить

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}y\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z(z\in <!--\; \in \; -->y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->A)$$\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)$  отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой $A$$A$ .

См. такжеПравить

• Парадокс Бурали-Форти
• Парадокс всемогущества
• Парадокс Рассела