Парадокс Бурали-Форти

Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно.

ФормулировкаПравить

В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.

Можно доказать, что если $x$$x$  — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма $\bigcup <!--\; \bigcup \; -->x$$\textstyle\bigcup x$  есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов $x$$x$ . Предположим теперь, что $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — множество всех порядковых чисел. Тогда $\bigcup <!--\; \bigcup \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\textstyle\bigcup \Omega$  — порядковое число, большее или равное любому из чисел в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ . Но тогда и $\bigcup <!--\; \bigcup \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\cup <!--\; \cup \; -->\{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\}=\bigcup <!--\; \bigcup \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}+1$$\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1$  — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ . Но это противоречит условию, по которому $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — множество всех порядковых чисел.

ИсторияПравить

Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти  (англ.) (рус. в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех $x$$x$  таких, что $P$$P$ » ($\{x\mid <!--\; \mid \; -->P\}$$\{x \mid P\}$ ).

Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия $P$$P$ , с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма $\{x\mid <!--\; \mid \; -->P\}$$\{x \mid P\}$  для произвольных $P$$P$ , но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а классом.

См. такжеПравить

• Парадокс Рассела
• Парадокс Кантора
• Парадокс Мириманова

ЛитератураПравить

• Er, Justin M. An Historical Account Of Set-Theoretic Antinomies Caused By The Axiom Of Abstraction.