Отношение направленных отрезков

Отноше́ние напра́вленных отре́зков — инвариант аффинной геометрии. Используется в формулировках теоремы Менелая, теоремы Чевы, теоремы Ван-Обеля и других.

ОпределениеПравить

Отношение направленных отрезков определено для двух отрезков $XY$$XY$  и $ZT$$ZT$  на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается $\frac{XY}{ZT}$${\frac {XY}{ZT}}$ . С точностью до знака оно равно отношению длин $\frac{|XY|}{|ZT|}$${\frac {|XY|}{|ZT|}}$ , и величина $\frac{XY}{ZT}$${\frac {XY}{ZT}}$  положительна, если $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{XY}$${\overrightarrow {XY}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{ZT}$${\overrightarrow {ZT}}$  сонаправлены, и отрицательна, если противонаправлены. Другими словами, величина $\frac{XY}{ZT}$${\frac {XY}{ZT}}$  определяется как число, удовлетворяющее следующему соотношению:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{XY}=\frac{XY}{ZT}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{ZT}.$${\overrightarrow {XY}}={\frac {XY}{ZT}}\cdot {\overrightarrow {ZT}}.$ 

Связанные определенияПравить

Если три точки $X,Y,Z$$X,Y,Z$  лежат на одной прямой, то отношение направленных отрезков $\frac{XY}{YZ}$${\frac {XY}{YZ}}$  называется также простым отношением точек $X,Y,Z$$X,Y,Z$ ; оно положительно если $Y$$Y$  лежит между $X$$X$  и $Z$$Z$  и отрицательно если $Y$$Y$  лежит вне отрезка $XZ$$XZ$ .

СвойстваПравить

• Отношение направленных отрезков является инвариантом аффинных преобразований.

См. такжеПравить

• Двойное отношение
• Пропорциональные отрезки

СсылкиПравить

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).