Теорема Ван-Обеля о треугольнике

Теорема Ван-Обеля – классическая теорема аффинной геометрии.

ФормулировкаПравить

 

Случай, когда все три точки лежат на сторонах треугольника, а не на их продолжениях.

 

Случай, когда две точки лежат на продолжениях сторон.

Если прямые $AP$$AP$ , $BP$$BP$ , $CP$$CP$  пересекают соответственно прямые $BC$$BC$ , $CA$$CA$  и $AB$$AB$ , содержащие стороны треугольника $ABC$$ABC$  соответственно в точках $A_1$$A_{1}$ , $B_1$$B_1$  и $C_1$$C_{1}$ , то имеет место равенство отношений направленных отрезков:

$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}+\frac{A{B}_1}{B_{1}C}=\frac{AP}{P{A}_1}$${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$ .

ЗамечанияПравить

• Если отрезки сонаправлены (одинаково направлены), то верхние знаки направленных отрезков можно убрать, и мы получим скалярный вариант теоремы ван Обеля:

  $\frac{A{C}_1}{C_{1}B}+\frac{A{B}_1}{B_{1}C}=\frac{AP}{P{A}_1}$${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$ .

О доказательствахПравить

Обычно доказывается применением метода центров масс; доказательство можно также построить на основе теоремы Менелая.

См. такжеПравить

• Отношение направленных отрезков
• Теорема Менелая
• Теорема Чевы