Односвязное пространство

Односвязное пространство — линейно связное топологическое пространство, в котором любой замкнутый путь можно непрерывно стянуть в точку. Пример: сфера односвязна, а поверхность тора не односвязна, потому что окружности на торе, показанные красным на рисунке, нельзя стянуть в точку.

Стягивание контура в точку на сфере

Поверхность тора — пример не односвязного пространства

ОпределенияПравить

Линейно связное топологическое пространство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ называется односвязным, если все замкнутые пути в нём гомотопны нулю.

Эквивалентное определение: Линейно связное топологическое пространство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ называется односвязным, если фундаментальная группа пространства $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ тривиальна.

ПримерыПравить

Любое выпуклое множество в евклидовом пространстве односвязно.
Круговое кольцо, лента Мёбиуса, проективная плоскость не односвязны.

СвойстваПравить

Односвязность является гомотопическим инвариантом, то есть гомотопически эквивалентные пространства либо оба односвязны, либо оба не односвязны.

ЛитератураПравить

Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.

СсылкиПравить

И. М. Виноградов. Односвязная область // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.