Обсуждение:Уравнение Дирака

Комментарии в статьеПравить

Поскольку и форма с альфа-матрицами ковариантна, и даже довольно явно, вероятно, лучше бы было назвать форму с гамма-матрицами четырехмерной, хотя четырехмерная запись чисто психологически лучше обращает внимание на ковариантность, и таким образом психологически это более явно ковариантная форма.

Это неэнциклопедично, поэтому откатываю обратно. --Илья 09:09, 11 января 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Поправил. Так лучше? Сергей Сашов 08:48, 14 января 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Так больше похоже на энциклопедию. --Илья 11:06, 14 января 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Странно. Для энкциклопедии статья неудачна: тот кто знает об уравнении, матрицах Дирака - легко поймет. Но ему это вряд ли нужно. А для тех кто не знает - это набор малопонятных терминов, одно непнятное описывает другое. Непонятно почему так а не иначе. Думаю, так энцклопедические статьи писать нелепо Уж если писать, чтоб понятней - вероятно было бы неплохо например, воспроизвести эвристическую логику самого Дирака как он построил это уравнение (проведя разложение на множители формулы Е=M*C^2). Это хоть для студентов было бы интригующе... И связать бы ясней с прочими темами КвантМеха. Anton Mih 14:54, 3 марта 2009 (UTC)Ответить[ответить]

Наверное, полезно будет упомянуть уравнение Прока 188.134.34.64 18:09, 27 декабря 2009 (UTC)DaxОтветить[ответить]

Несогласен про не удачность статьи. Я студент, и мне очень понравился вывод. --Mrilluminates 14:44, 2 января 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Уравнение Дирака и принцип соответствияПравить

Уравнение Дирака можно обосновать с помощью принципа соответствия. В специальной теории относительности энергия и импульс частицы выражаются через соотношение

$E^2=p_1^2{c}^2+p_2^2{c}^2+p_3^2{c}^2+m^2{c}^4$$E^{2}=p_{1}^{2}c^{2}+p_{2}^{2}c^{2}+p_{3}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$ 

Его можно, разделив на $E$$E$  обе стороны, преобразовать к следующему виду

$E=\frac{v_1}{c}{p}_{1}c+\frac{v_2}{c}{p}_{2}c+\frac{v_3}{c}{p}_{3}c+\frac{v_0}{c}m{c}^2(1)$$E={\frac {v_{1}}{c}}p_{1}c+{\frac {v_{2}}{c}}p_{2}c+{\frac {v_{3}}{c}}p_{3}c+{\frac {v_{0}}{c}}m\,c^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ 

где величина $v_0=\sqrt{c^2-<!--\; -\; -->v^2}$$v_{0}={\sqrt {c^{2}-v^{2}}}$  , а $v^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2$$v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$   ;

В самом деле, $\frac{p_{1}c}{E}=\frac{m{v}_{1}c(c/v_0)}{m{c}^2(c/v_0)}=\frac{v_1}{c}$${\frac {p_{1}c}{E}}={\frac {mv_{1}c(c/v_{0})}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{1}}{c}}\,$  и т.д., а также $\frac{m{c}^2}{E}=\frac{m{c}^2}{m{c}^2(c/v_0)}=\frac{v_0}{c}$${\frac {mc^{2}}{E}}={\frac {mc^{2}}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{0}}{c}}\,$ ;

Уравнение Дирака имеет вид

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_{1}c+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_{2}c+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_{3}c+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{0}m{c}^2)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2)$$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=(\alpha _{1}{\hat {p}}_{1}c+\alpha _{2}{\hat {p}}_{2}c+\alpha _{3}{\hat {p}}_{3}c+\alpha _{0}\,m\,c^{2})\psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$ 

где ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j$$\alpha _{j}$  - матрицы, $(j=0,1,2,3,)$$(j=0,1,2,3,)$ . Из принципа соответствия между уравнениями (1) и (2) следует, что $v_j/c={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j$$v_{j}/c=\alpha _{j}$  или $v_j=c{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j$$v_{j}=c\alpha _{j}$ .

И в самом деле, в квантовой механике показано, что релятивистский оператор скорости $v_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=d{x}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}/dt;(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=1,2,3)$$v_{\nu }=dx_{\nu }/dt;(\nu =1,2,3)$  ; имеет вид $v_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=c{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$v_{\nu }=c\alpha _{\nu }$ , т.е. является матричным оператором (см. Борисоглебский Л.А. "Квантовая механика", Минск, изд-во "Университетское", 1988, с.340-342).

Действительно, оператор скорости находится согласно общим правилам дифференцирования операторов по времени

$\frac{d{x}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{dt}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+[H,x_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}](3)$${\frac {dx_{\nu }}{dt}}={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial t}}+[H,x_{\nu }]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$ 

где $H$$H$  - оператор Гамильтона

$H={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{p}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}c+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{0}m{c}^2$$H=\alpha _{\nu }p_{\nu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}$ 

Так как $x_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$x_{\nu }$  - оператор координаты - не зависит явно от времени, то $d{x}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}/dt=[H,x_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}]$$dx_{\nu }/dt=[H,x_{\nu }]$ . Подставляя сюда оператор Гамильтона, мы получим

$\frac{d{x}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{dt}=[({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{p}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}c+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{0}m{c}^2),x_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}]$${\frac {dx_{\nu }}{dt}}=[(\alpha _{\mu }p_{\mu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}),\,x_{\nu }]$ 

Матрица ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\alpha _{\mu }$  коммутирует с $x_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$x_{\nu }$ , поэтому матричный оператор можно вынести за скобки. Окончательно имеем

$d{x}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}/dt=c{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}[p_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},x_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}]=c{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=c{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$dx_{\nu }/dt=c\alpha _{\mu }[p_{\mu },x_{\nu }]=c\alpha _{\mu }\delta _{\mu \nu }=c\alpha _{\nu }$ 

Собственные значения матричного оператора скорости равны $\pm <!--\; \pm \; -->c$$\pm c$ , но так как оператор скорости не коммутирует с оператором Гамильтона, то на опыте всегда измеряется среднее значение релятивистского оператора скорости и оно меньше $c$$c$ .

Таким образом, соответствие между уравнениями (1) и (2) подтверждается.

Alexander Klimets 07:05, 2 мая 2016 (UTC)Ответить[ответить]

ОшибкаПравить

квантовых колебаний в электромагнитного поля--Алры (обс.) 20:49, 2 июля 2019 (UTC)Ответить[ответить]

Несоответствие матриц ПаулиПравить

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3$$\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\$  — линейные операторы над пространством биспиноров, которые действуют на волновую функцию (матрицы Паули).

Матрицы ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_3$$\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\$  не являются матрицами Паули, так как имеют размер 4×4, а не 2×2.

Vitaliy (обс.) 00:02, 1 июня 2022 (UTC)Vit84Ответить[ответить]

Несоответствие альфа-матриц ДиракаПравить

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i^2=1$$\alpha _{i}^{2}=1$  для $i$$i\$  от 0 до 3.

В обсуждаемом представлении эти операторы являются матрицами размера 4×4 (это минимальный размер матриц, для которых выполняются условия антикоммутации), называемыми альфа-матрицами Дирака

Альфа-матрицы Дирака по указанной ссылке возведенные в квадрат имеют значения 1, -1, -1, -1, а не 1. Значит либо утверждение выше неверно, либо эти матрицы Дирака не подходят, либо на странице Матрицы Дирака указаны неверные матрицы.

Vitaliy (обс.) 00:02, 1 июня 2022 (UTC)Vit84Ответить[ответить]