Биспинор

Биспинор — обобщённый вектор, состоящий из двух компонентов (спиноров), который используется для описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства. Биспинор сводится к четырёхкомпонентному столбцу — паре двухкомпонентных столбцов:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\\ {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}\end{array}\right)$$\psi =\left({\begin{matrix}\varphi ^{\alpha }\\\chi ^{\beta ^{\prime }}\end{matrix}}\right)$

где индексы $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ и ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$\beta ^{\prime }$ пробегают значения 1 и 2.

Биспинор — это дираковский спинор в представлении, где матрица диагональна (см. уравнение Дирака).

В квантовой теории поля биспиноры удобны для единообразного описания массивных и безмассовых релятивистских частиц со спином 1/2.

Математическое представлениеПравить

Полные соотношения для биспиноров u и v:
$\underset{s=1,2}{\sum <!--\; \sum \; -->}{u}_p^{(s)}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}}_p^{(s)}=p/+m,$$\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/+m,$ 
$\underset{s=1,2}{\sum <!--\; \sum \; -->}{v}_p^{(s)}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{v}}_p^{(s)}=p/-<!--\; -\; -->m,$$\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/-m,$ 
где $a/={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{p}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$a\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu }$  — биспинор, здесь нештрихованный и штрихованный индексы пробегают значения 1 и 2. По отношению к группе трёхмерных вращений и являются обычными спинорами, преобразующимися по представлению со спином 1/2. Различие между ними проявляется при преобразованиях Лоренца: спиноры преобразуются по представлениям, к-рые комплексно сопряжены друг другу, по т. н. представлениям и группы Лоренца.

См. такжеПравить

• Группа вращений
• Группа Лоренца
• Преобразования Лоренца
• Уравнение Дирака
• Матрицы Дирака

ЛитератураПравить

• Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. M., Питаевский Л. П, Квантовая электродинамика. — 2-е изд. — M., 1980.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория / пер. с англ. — Т. 1. — M., 1978.