Обсуждение:Момент инерции

ОшибкаПравить

Нашел ошибку в формуле для цилиндра с заданными внутренним и внешним радиусами. Исправил "+" на "-". 195.19.48.229 18:58, 19 мая 2011 (UTC)Mixa Исправил еще раз. Если не понятно - подумайте сами как момент инерции может увеличивать с увеличением внутреннего радиуса - толщина стенки уменьшается - следовательно масса системы тоже! 195.19.48.229 11:19, 20 мая 2011 (UTC)MixaОтветить[ответить]

• В том-то и дело, что масса остаётся прежней и именно она входит в формулу. Изменяется плотность. — Артём Коржиманов 16:05, 21 мая 2011 (UTC)Ответить[ответить]
• Стоять там должен "+" - проверьте оба граничащих случая.(Уже исправлял это, опять распирает вас)--92.127.141.173 18:44, 15 июля 2011 (UTC)Ваш Великий ФизикОтветить[ответить]

Что значит масса остается прежней?− Она что при взвешивании остается прежней, если при постоянном внешнем радиусе, увеличивать внутренний.− Исправляйте ошибку.--Михаил Певунов 07:05, 20 декабря 2014 (UTC)М. ПевуновОтветить[ответить]

Нет ошибки, там должен быть "+". 1-е, прочитайте комм.1 к таблице формул в статье. 2-е, прочитайте вывод формулы в этом обсуждении. Д.Ильин 07:25, 20 декабря 2014 (UTC).Ответить[ответить]

В выводе формулы сказано. Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Так как толщина кольца это R - R₁,то h это должно быть шириной кольца. И нарезаться должны тонкие кольца толщиной dr и шириной h. При переменном R₁, и неизменной ширине масса будет меняться. Это и вызвало мое непонимание. --[[User:Михаил Певунов| 12:44, 20 декабря 2014 (UTC)

Правильная формула должна быть такая J = πρh(R²-R₁²)(R²+R₁²)/2

ρ - плотность массы,  h - ширина кольца.

Проверяем граничные условия

При $R_1=0$$R_{1}=0$ 

$J=m{R}^2/2$$J=mR^{2}/2$ 

При $R_1=R$$R_{1}=R$  $J=0$$J=0$  --Михаил Певунов 14:57, 22 декабря 2014 (UTC) --Михаил Певунов 15:18, 22 декабря 2014 (UTC)ПодробнееОтветить[ответить]

Обе ф-лы правильные. Одна через плотность, другая — через массу. Обратите внимание, сомножитель πρh(R²-R₁²) как раз масса цилиндра. Д.Ильин 02:29, 23 декабря 2014 (UTC).Ответить[ответить]

По вашей формуле, если R = R₁ момент инерции равен J = mR² По моей формуле J = 0 Так что, обе формулы правильные?? Беда доморощенных физиков-теоретиков в том, что они путают математическую точку с физической, математическое уравнение с физическим. То, что может математика, не всегда возможно в физике. Физик сразу скажет, что ваша формула не имеет физического смысла, потому как шайба с внутренним радиусом равным внешнему, массы не имеет, о каком моменте инерции можно говорить. Кстати, в математическом понимании относительности движения Солнце вращается вокруг Земли и находятся математики (Козыревцы), которые направляют свои телескопы по видимому ходу Солнца вокруг Земли (По часовой стрелки на 8,3 минуты) и регистрируют там Лучи Козырева--Михаил Певунов 01:20, 24 декабря 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Очередной раз повторю: Обе ф-лы правильные. При стремлении R₁ -> R, при неизменной массе плотность стремится к бесконечности, что физик сразу видит. Вырожденный случай R = R₁ отвечает бесконечной плотности (если угодно, распределение поверхностной плотности можно описать двумерной функцией Дирака). Также замечу, что приведенный пример физически нереализуем, как и R₁ > R.

А рассуждения о «бедах доморощенных физиков-теоретиков» оставьте для ЖЖ и социальных сетей. В ВП такое не очень приветствуется.

Д.Ильин 03:42, 24 декабря 2014 (UTC).Ответить[ответить]

При постоянной массе любое увеличение любых радиусов увеличивает момент инерции. 87.138.99.244 13:41, 14 мая 2018 (UTC)Ответить[ответить]

Геометрический момент инерцииПравить

• Меня терзают смутные сомнения... А в чём отличие его от обычного центробежного плоской фигуры? И почему не указано, расстояние от чего меряется? infovarius 21:07, 14 ноября 2008

Тоже полагаю, что употреблять в статике (строительная механика) термин динамики "Инерция" не корректно. Потому в строительной механике употребляют понятие. Статический момент площади сечения относительно нейтральной оси. И никакой инерции.

Слово момент, потому что единичная площадь умножается на расстояние до нейтральной оси. Как и силу на радиус называют моментом.

Внешний момент уравновешен внутренними силами сопротивления , которые пропорциональны единичной площади и ее расстоянию до нейтральной оси 0 < У < H/2

Для вертикального сечения высотой Н получаем два треугольника высотой Н/2, катетом σ, шириной b. Его площадь bσН/2.

Равнодействующая треугольника находится на расстоянии 2/3 H/2 = H/6

Внутренний момент сил сопротивления равен 2* bσН/2 * H/6 = σbH²/6

bH²/6 = W Момент сопротивления прямоугольного сечения. Найдете в любом справочнике.

Момент инерции прямоугольного сечения J = WH/2 = bH³/12 См.справочник.

В динамике момент силы, деленный на момент инерции дает угловое ускорение е. M/J = e

В статике момент сил, деленный на момент сопротивления дает максимальное напряжение M/W = σ

Численно выражения J не совпадают и имеют разный физический смысл и разные размерности.

К сожалению тут не вставляется графика, тогда бы было понятнее с обозначениями.--Михаил Певунов 15:26, 26 декабря 2014 (UTC) Ответить[ответить]

Перенесено на страницу Обсуждение участника:Михаил Певунов#Момент инерции.

Вопросы к господину ИнфовариусуПравить

Уважаемый участник Инфовариус! У меня к вам 2 вопроса:

1. Почему Вы отменяете правки участников, не поинтересовавшись перед этим по какой причине участник внёс ту или иную правку? Не кажется ли Вам, что это невежливо?
2. Будьте добры обоснуйте, что масса является мерой инертности тела именно в поступательном, а не прямолинейном движении. Дело в том, что каждая точка - я подчёркиваю, ТОЧКА - тела может совершать вращательное движение. И следовательно, инерционность точки может харкактеризоваться не только её массой, но и расстоянием до точки вращения. То есть инерционность каждой точки характеризуется её моментом инерции относительно её (точки) центра вращения. Соответственно мерой инертности тела в целом при поступательном движении является не его масса, а сумма инертных свойств - моментов инерции - всех точек тела. А теперь, господин Инфовариус, укажите, пожалуйста, на ошибку в моих рассуждениях. С уважением, --Ванька Иваныч 14:32, 25 апреля 2010 (UTC)Ответить[ответить]
   1. Я подумал и откатил :) Аргументирую. 1) точка не может сама по себе совершать вращательное движение (нету у неё таких степеней свободы), так что она по определению движется поступательно; 2) соответственно на точку может действовать только сила (не момент!), которая, будучи переменной во времени, может направлять точку по любой траектории - хоть прямолинейной, хоть по окружности; 3) как вы помните из курса механики, если суммарный момент сил на тело равен нулю, то тело не вращается, т.е. движется поступательно, при этом его центр масс может описывать сколь угодно сложную траекторию опять же из-за переменности равнодействующей. При этом "противодействует" этой силе именно масса, а не распределение её в теле ("момент инерции"). --infovarius 19:00, 25 апреля 2010 (UTC)Ответить[ответить]

Да, в ваших рассуждениях я не вижу ошибки. Действительно, если прекратить действие всех сил на точку, то она по инерции будет двигаться по прямой, и значит, у неё нет инерционных свойств при вращательном движении. Это отличает точку от твёрдого тела --Ванька Иваныч 02:32, 26 апреля 2010 (UTC)Ответить[ответить]

В формуле для момента инерции толстостенного цилиндра должен стоять плюс, а не минус. 77.238.228.165 07:32, 18 декабря 2010 (UTC)skynoirОтветить[ответить]

Всё-таки минус. Хотя бы потому, что при $r_1\to <!--\; \to \; -->0$$r_{1}\to 0$  формула должна переходить в формулу для сплошного цилиндра. Rasim 13:19, 18 декабря 2010 (UTC)Ответить[ответить]

Всё-таки плюс. При $r_1\to <!--\; \to \; -->r_2$$r_{1}\to r_{2}$  мы по "геометрии" должны получить тонкостенный цилинцр $m{r}^2$$mr^{2}$ , а по формуле получаем 0. При $r_1\to <!--\; \to \; -->0$$r_{1}\to 0$  и со знаком плюс в формуле, и со знаком минус мы получаем правильный ответ, так что рассуждения человека выше просто недодумка.Вы не рассмотрели всех критических случаев..

Да, вы правы. Rasim 19:39, 19 мая 2011 (UTC)Ответить[ответить]

Вывод формул, грохнутый кем-то при редактированииПравить

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

$J=\sum <!--\; \sum \; -->d{J}_i=\sum <!--\; \sum \; -->R_i^{2}dm.(1)$$J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1)$ 

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

$J=\sum <!--\; \sum \; -->R^{2}dm=R^2\sum <!--\; \sum \; -->dm=m{R}^2.$$J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.$ 

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

$dm=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}dV=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}rhdr;dJ=r^{2}dm=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h{r}^{3}dr.$$dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.$ 

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

${\begin{aligned}J&=\int _{{R_{1}}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{{R_{1}}}^{R}r^{3}dr=2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{{R_{1}}}^{R}=\\&={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).\end{aligned}}$ 

Поскольку объём и масса кольца равны

$V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(R^2-<!--\; -\; -->R_1^2\right)h;m=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(R^2-<!--\; -\; -->R_1^2\right)h,$$V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h,$ 

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

$J=\frac{1}{2}m\left(R^2+R_1^2\right).$$J={\frac {1}{2}}m\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).$ 

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

$J=\frac{1}{2}m{R}^2.$$J={\frac {1}{2}}mR^{2}.$ 

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

$r=\frac{Rh}{H},$$r={\frac {Rh}{H}},$ 

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

$dm=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}V=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{2}dh;$$dm=\rho V=\rho \cdot \pi r^{2}dh;$ 

$dJ=\frac{1}{2}{r}^{2}dm=\frac{1}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{r}^{4}dh=\frac{1}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{\left(\frac{Rh}{H}\right)}^{4}dh;$$dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;$ 

Интегрируя, получим

${\begin{aligned}J&=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\left.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=\\&={\frac {1}{10}}\pi \rho R^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}={\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}$ 

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

$r=\sqrt{R^2-<!--\; -\; -->h^2}.$$r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.$ 

Масса и момент инерции такого диска составят

$dm=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}dV=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^{2}dh;$$dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;$ 

$dJ=\frac{1}{2}{r}^{2}dm=\frac{1}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{r}^{4}dh=\frac{1}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{\left(R^2-<!--\; -\; -->h^2\right)}^{2}dh=\frac{1}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(R^4-<!--\; -\; -->2R^2{h}^2+h^4\right)dh.$$dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh.$ 

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

${\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{\frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}=\pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot {\frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}$ 

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

$J_0=\frac{2}{5}M{R}^2=\frac{8}{15}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{R}^5.$$J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.$ 

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

${\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}\end{aligned}}$ 

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

$dm=\frac{mdr}{l};dJ=r^{2}dm=\frac{m{r}^{2}dr}{l}.$$dm={\frac {mdr}{l}};\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l}}.$ 

Интегрируя, получим

$J={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->l/2}^{l/2}dJ=2{\int <!--\; \int \; -->}_0^{l/2}dJ=\frac{2m}{l}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{l/2}{r}^{2}dr=\frac{2m}{l}{\frac{r^3}{3}|}_0^{l/2}=\frac{2m}{l}\frac{l^3}{24}=\frac{1}{12}m{l}^2.$$J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l}}\int _{0}^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\left.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l/2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.$ 

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

$J=J_0+m{r}^2=J_0+m{\left(\frac{l}{2}\right)}^2=\frac{1}{12}m{l}^2+\frac{1}{4}m{l}^2=\frac{1}{3}m{l}^2.$$J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.$ 

AdmiralHood 05:30, 23 марта 2011 (UTC)Ответить[ответить]

Равнобедренный треугольник (ось проходит через вершину и перпендикулярна плоскости треугольника)

Вывод формулы

Линиями, параллельными основанию, разобъём треугольник на тонкие стержни. Длина стержня, находящегося на расстоянии y от вершины, равна

$l_y=\frac{a}{h}y,$$l_{y}={\frac {a}{h}}y,$  где

$a$$~a$  — основание треугольника;

$h$$~h$  — высота треугольника.

Момент инерции стержня относительно оси равен

$dJ=\frac{1}{12}dm\cdot <!--\; \cdot \; -->l_y^2+dm\cdot <!--\; \cdot \; -->y^2=dm\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{l_y^2}{12}+y^2\right)=$$dJ={\frac {1}{12}}dm\cdot l_{y}^{2}+dm\cdot y^{2}=dm\cdot \left({\frac {l_{y}^{2}}{12}}+y^{2}\right)=$ 

$=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{l}_{y}dy\left(\frac{l_y^2}{12}+y^2\right)=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(\frac{a^3}{12h^3}+\frac{a}{h}\right)y^{3}dy;$$=\rho l_{y}dy\left({\frac {l_{y}^{2}}{12}}+y^{2}\right)=\rho \left({\frac {a^{3}}{12h^{3}}}+{\frac {a}{h}}\right)y^{3}dy;$ 

Момент инерции треугольника находим интегрированием

$J={\int <!--\; \int \; -->}_0^{h}dJ=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(\frac{a^3}{12h^3}+\frac{a}{h}\right){\int <!--\; \int \; -->}_0^h{y}^{3}dy=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(\frac{a^3}{12h^3}+\frac{a}{h}\right)\frac{h^4}{4}=$$J=\int _{0}^{h}dJ=\rho \left({\frac {a^{3}}{12h^{3}}}+{\frac {a}{h}}\right)\int _{0}^{h}y^{3}dy=\rho \left({\frac {a^{3}}{12h^{3}}}+{\frac {a}{h}}\right){\frac {h^{4}}{4}}=$ 

$=\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}ah}{48}\left(a^2+12h^2\right)=\frac{m}{24}\left(a^2+12h^2\right).$$={\frac {\rho ah}{48}}\left(a^{2}+12h^{2}\right)={\frac {m}{24}}\left(a^{2}+12h^{2}\right).$ 

AdmiralHood 03:41, 2 января 2012 (UTC)Ответить[ответить]

О жестко закрепленной оси в разделе Теорема Гюйгенса — ШтейнераПравить

Я заменил «центр масс тела» выражением «жёстко закреплённого центр масс тела» в выражении «проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси» указанного раздела, так-как она важна по физике явлений вращения тел. В случае движения не закреплённого твёрдого тела во внешнем поле (например планеты и их спутники, Луна, электроны в атоме) Теорема Штейнера не применима. В этом случае момент импульса твердого тела равен сумме моментов импульсов орбитального и собственного вращения (спина) и понятия моментов инерции разделены. Для не закреплённого твёрдого тела существует только одно понятие момента инерции ― собственный. Если нет какого либа механизма воздействия друг на друга (типа спин-орбитального), то орбитальное движение чисто поступательное вне зависимости от состояния собственного вращения тела (собственного момента импульса, в нерелятивистском приближении). Ваграм Мыхитарян 03:56, 10 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

В начале статьи в разделе «Осевой момент инерции» уже сказано, что речь в статье идёт о моментах инерции механических систем именно относительно неподвижных осей. Поэтому повторять в дальнейшем уже сказанное представляется излишним. --VladVD 11:43, 10 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

В данном разделе реч идет именно о подвижой оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси и которая вращается вокруг рассматриваемой оси. Поэтому и следует уточнить также движение тела относительно оси проходящей через центр масс и рассматриваемой оси. Замечу также, что если тело жестко связано с рассматриваемой осью, то оно вращается вокруг собственной оси с такой же угловой скоростью как вокруг рассматриваемой оси. Если собственная ось свободно закреплена, то вращение вокруг собственной оси отсутствует и тело вращается (точнее сказать перемещается) только вокруг рассматриваемой оси. Ваграм Мыхитарян 15:56, 10 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

• Если вы внимательно посмотрите доказательство теоремы Гюйгенса — Штейнера, то, думаю, убедитесь, что вы не правы.
• Если всё же вы останетесь при своём мнении, то вы будете должны в подтверждение его предоставить АИ. Со своей стороны должен отметить, что я специально посмотрел несколько книг по теоретической механике и нигде в формулировках теоремы не обнаружил предлагаемого вами уточнения.
• В любом случае, если вашу правку отменили, вы в соответствии с ВП:КОНС не имеете права возвращать её в статью, а должны добиваться консенсуса здесь. Иначе ваше поведение может быть расценено, как нарушение ВП:ВОЙ. Пока вашу правку удаляю, поскольку согласно ВП:КОНС, статья должна оставаться в том состоянии, в котором она находилась до внесения спорных правок. Дальнейший возврат без предварительного обсуждения и предоставления источников на странице обсуждения с вашей стороны будет нарушением ВП:ВОЙ и может привести к блокировке. --VladVD 17:10, 10 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Представьте, что держите велосипедное колесо за ось на расстоянии l и вращаетесь вокруг своей оси с угловой скоростью Ω. Так как колесо свободно вращается вокруг своей оси, то не возникает момента силы вращения самого колеса, и он совершает только поступательное движение (перемещение без вращения). Энергия W выражается обычной формулой кинетической энергии через массу m и скорость v перемещения колеса.

 

Если же держитесь за ободок колеса и вращаетесь вокруг своей оси с угловой скоростью Ω, то колесо начинает вращаться вокруг собственной оси с такой же угловой скоростью Ω. Энергия равна сумме кинетической энергии и энергии собственного вращения колеса c моментом инерции I (наглядный вывод теоремы Гюйгенса-Штерна). Заметим, что в данном случае мы рассматривали вариант жёстко закреплённой оси (жёстко закреплённого центра масс) колеса. Это соответствует жесткому спин-орбитальному взаимодействию, когда угловые скорости вращения одинаковы.

В других случаях, скажем, у колеса есть осевое трение, или спин-орбитальное взаимодействие электрона в атоме, в выражении энергии будут другие соотношения поступательной энергии и энергии собственного вращения (спина). В частности, движение Луны соответствует случаю жёстко закреплённого центра масс (Луна все время обращена к Земле с одной и той же стороной), а движение Земли вокруг Солнца – случаю свободно закреплённого центра масс (наклон оси, период собственного вращения никак не связаны с движением вокруг Солнца).

А что касается теореме Гюйгенса-Штерна, то там очевидно предполагается, что система совершает жесткое вращение (одна угловая скорость для всех), поэтому и вводиться понятие момента инерции "по определению" как сумма m_ir'_i². Энергия и момент импульса выражаются таким моментом инерции через одну скорость углового вращения. Если же угловые скорости орбитального и собственного вращения разные, то в выражении энергии и момента импульса моменты инерции входят по отдельности со своими скоростями углового вращения - орбитального и собственного. Было бы странно описать движение Земли вокруг Солнца, молекулы в газе, и тем более электрона в атоме одним таким моментом инерции "по определению". Ваграм Мыхитарян 23:40, 10 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Изложенные вами представления я вполне разделяю, но при этом не думаю, что из них вытекает необходимость какой-либо коррекции формулировки теоремы. --VladVD 08:33, 12 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Что же касается АИ, то (для всех народов и времен) это

• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, Т. 1, Механика, 2004, стр. 131, §32. Тензор инерции

Для наглядности добавлены последние два предложения и формулы (почти что copy-paste). Было бы лучше изложить эти вопросы по книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, где понятия орбитального и собственного вращения разделены и строго изложены.

• § 32. Тензор инерции

Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассмотрим его как дискретную систему материальных точек:

T = Σmv²/2

где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул. Подставив сюда (31.2, скорость точки v равна сумме скоростей поступательного V и вращательного [Ω×r] движений), получим

T = Σm(V + [Ω×r])²/2 = Σ mV²/2 + ΣmV[Ω×r] +Σm[Ω×r]²/2 .

Скорости V и Ω одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене V²/2 выносится за знак суммы, а сумма Σm есть масса тела, которую мы будем обозначать буквой μ. Второй член запишем так:

ΣmV[Ω×r] = Σmr[V×Ω] = [V×Ω] Σmr.

Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условлено, в центре инерции R, то этот член обращается в нуль, так как в этом случае Σmr = RΣm = 0. Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим

T = Σ mV²/2 + Σm(Ω²r² -(Ωr)²)/2 = μV²/2 + Σm(Ω²r² - (Ωr)²)/2. (32.1)

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (32.1) есть кинетическая энергия поступательного движения – она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Ω вокруг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.

Если центр инерции также совершает вращательное движение с угловой скоростью ω относительно другой оси на расстоянии d, то имеем V = [ω×d] и из (32.1) получим

T = μω²d²/2 + Σm(Ω²r² - (Ωr)²)/2.

Если центр инерции жёстко связан с осью вращения, то угловая скорость вращения Ω твёрдого тела совпадает с угловой скоростью вращения ω центра масс Ω = ω. Откуда и получаем (Теорема Гюйгенса — Штейнера)

T = μω²d²/2 + Σm(ω²r² - (ωr)²)/2.

Ваграм Мыхитарян 15:05, 12 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Мне кажется, что вы воспринимаете утверждение теоремы Гюйгенса — Штейнера, как относящееся к некоему конкретному движению тела. Я же полагаю, что в теореме речь идёт о двух различных движениях. Одно из них — вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через произвольную точку тела, другое — вращение вокруг тоже неподвижной оси, проходящей через центр масс. Представляется, что при таком подходе никакие уточнения формулировки теоремы не требуются. --VladVD 15:35, 13 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

В Вашей формулировке одно лишнее слово, должно быть "Одно из них — вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через произвольную точку, другое — вращение вокруг тоже неподвижной оси, проходящей через центр масс." При такой формулировке все же следует уточнить, что "отностиельно которой (оси) все точки твердого тела вращаются с одинаковой угловой скоростью." Ваграм Мыхитарян 16:59, 13 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Согласен. --VladVD 20:02, 13 октября 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Для поступательно-вращательного движения скорости не складываются. Поступательная и вращательная кинетические энергии рассматриваются отдельно. Правильная формула такая.

$E=m{V}^2/2+J{W}^2/2$$E=mV^{2}/2+JW^{2}/2$ 

При движении единичной массы m по окружности радиусом R, линейная скорость V = WR кинетическая энергия вращения $E=m{V}^2/2=m{W}^2{R}^2/2=J{W}^2/2$$E=mV^{2}/2=mW^{2}R^{2}/2=JW^{2}/2$ 

m*R² = J - момент инерции тела.

На левом рисунке колесо на оси будет вращаться в обратную сторону с той же угловой скоростью. Для компенсации этого вращения, Луна за один оборот вокруг Земли против часовой стрелки, делает один оборот вокруг своей оси против часовой стрелки. И никакого вращения Луны и Земли вокруг общего центра масс нет и быть не может. Кинетическая энергия для колеса слева будет $E=m{L}^2{W}^2/2-<!--\; -\; -->J{W}^2/2$$E=mL^{2}W^{2}/2-JW^{2}/2$ --Михаил Певунов 13:51, 22 декабря 2014 (UTC)Ответить[ответить]

Михаил Певунов, это что, новый прорыв в физике?! Отрицательная кинетическия энергия! Достали уже!!! :((( Ваграм Мыхитарян 10:32, 4 февраля 2015 (UTC)Ответить[ответить]

В моей формуле опечатка. Вычитать надо из полной энергии E = E_полн - jW^2/2

Как определять момент инерции для сплошного и полого цилиндра.Править

Для сплошного цилиндра, надо его замерить, найти объем, умножить на массовую плотность по справочнику, взять здешнею формулу и считать. Взвешивать не надо. Достаточно обмерить. Для полого цилиндра, надо его замерить, взвесить, поделить на g, взять здешнюю формулу и все у вас получится. И плотность знать не надо. Но без взвешивания никак. Чтобы без взвешивания, нужна полная формула, в которой масса определяется по замерам и плотности.--Михаил Певунов 11:13, 12 февраля 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Выражение полярного момента инерции через плоскостныеПравить

Я удалил неверную формулу: $J_O=J_{xy}+J_{yz}+J_{xz}$$J_{O}=J_{{xy}}+J_{{yz}}+J_{{xz}}$ . Она была бы верна, если бы $J_{xy}$$J_{{xy}}$  означал момент инерции относительно плоскости $xOy$$xOy$ . Но в статье так обозначается центробежный момент, а плоскостные вообще не вводятся. Mife 09:52, 9 марта 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Похожая формула есть в книге Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. 8-е изд. СПб.: Лань, 2001. Страница 421, формула (34.4). Mife 00:58, 1 июля 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Mife прав. Это очевидно, например, из того, что надлежащим выбором осей всегда можно добиться, чтобы выполнялось $J_{xy}=J_{yz}=J_{xz}=0$$J_{xy}=J_{yz}=J_{xz}=0$ , в то время как центральный момент инерции $J_O$$~J_{O}$  всегда должен быть больше нуля. Учитывая, что в течение времени, начиная с 9 марта, по поводу правки Mife возражений не поступало, я её восстанавливаю. --VladVD 15:41, 1 июля 2015 (UTC)Ответить[ответить]

Когда авторы поймут разницу между моментом инерции объемного тела и моментом плоскости сечения тела.Править

Момент инерции тела это момент силы инерции тела относительно оси вращения.

Есть уравнение второго закона $\frac{F}{m}=a$${\frac {F}{m}}=a$ 

Сила деленная на массу дает линейное ускорение. Это равенство может быть записано так.

$F=ma$$F=ma$ 

Слева сила, действующая на тело F, справа сила инерции ma.

При вращательном движение, умножаем левую и правую часть на радиус вращения.

F*R это момент силы = М

Линейное ускорение равно угловому, умноженному на радиус. $a=eR$$a=eR$  ,

$M=maR=meRR=m{R}^{2}e$$M=maR=meRR=mR^{2}e$  

$m{R}^2$$mR^{2}$  это момент силы инерции J имеет размерность кг*метр²

Получаем второй закон Ньютона для вращательного движения.

$\frac{M}{J}=e$${\frac  {M}{J}}=e$  

Момент силы, деленный на момент инерции дает угловое ускорение.

Момент площади сечения имеет размерность метр⁴, ни какого отношения к динамике не имеет. Момент сечения шириной a и высотой b относительно нейтральной оси вычисляется так.

 $2{\int <!--\; \int \; -->}_0^{b/2}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{b/2}abdb=2{\int <!--\; \int \; -->}_0^{b/2}a{b}^2/4db=a{b}^3/12$$2\int _{0}^{{b/2}}\int _{0}^{{b/2}}abdb=2\int _{0}^{{b/2}}{ab^{2}}/4db={ab^{3}}/12$ 

Если для вас учебники по термеху и сопромату не авторитетные источники, тады да.--Михаил Певунов 16:39, 23 марта 2015 (UTC)Ответить[ответить]