Уравнение Колмогорова — Чепмена

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов $\mathbf{P}(t),t>0$$\mathbf {P} (t),\;t>0$ в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:

$\mathbf{P}(t+s)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s).$$\mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s).$

Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где $\mathbf{P}(t),t\ge <!--\; \ge \; -->0$$\mathbf {P} (t),\;t\geq 0$ — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени $t$$t$ ($\mathbf{P}(0)=\mathbf{1}$$\mathbf {P} (0)=\mathbf {1}$).

Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов $\mathbf{P}(t,h),h>t>0$$\mathbf {P} (t,h),\;h>t>0$, преобразующих распределение вероятностей в момент времени $t>0$$t>0$ в распределение вероятности в момент времени $h>t>0.$$h>t>0.$ Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид

$\mathbf{P}(t,s)=\mathbf{P}(t,h)\mathbf{P}(h,s),s>h>t>0.$$\mathbf {P} (t,s)=\mathbf {P} (t,h)\mathbf {P} (h,s),\;s>h>t>0.$

Для систем с дискретным временем параметры $t,h,s$$t,h,s$ принимают натуральные значения.

Прямое и обратное уравнения КолмогороваПравить

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по $s$$s$  при $s=0$$s=0$  получаем прямое уравнение Колмогорова:

$\frac{d\mathbf{P}(t)}{dt}=\mathbf{P}(t)\mathbf{Q},$${\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {P}}(t){\mathbf {Q}},$ 

где

$\mathbf{Q}=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\mathbf{P}(h)-<!--\; -\; -->\mathbf{1}}{h}.$$\mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} }{h}}.$ 

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по $t$$t$  при $t=0$$t=0$  получаем обратное уравнение Колмогорова

$\frac{d\mathbf{P}(t)}{dt}=\mathbf{Q}\mathbf{P}(t).$${\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {Q}}{\mathbf {P}}(t).$ 

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор $\mathbf{Q}$${\mathbf {Q}}$  уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

ПримерыПравить

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в ${\mathbb{R}}^n,$$\mathbb {R} ^{n},$  для которых оператор переходных вероятностей $\mathbf{P}(t)$${\mathbf {P}}(t)$  задаётся переходной плотностью $p(t,x,y)$$p(t,x,y)$ : вероятность перехода из области $U$$U$  в область $W$$W$  за время $t$$t$  есть $\underset{U}{\int <!--\; \int \; -->}dx\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}dyp(t,x,y)$$\int \limits _{U}dx\,\int \limits _{V}dy\,p(t,x,y)$ . Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:

$p(t+s,x,y)=\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}p(t,x,z)p(s,z,y)dz.$$p(t+s,x,y)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.$ 

При $t>0,t\to <!--\; \to \; -->0$$t>0,\,t\to 0$  переходная плотность $p(t,x,y)$$p(t,x,y)$  стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):$\underset{t\to <!--\; \to \; -->0}{lim}p(t,x,y)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x-<!--\; -\; -->y)$$\lim _{t\to 0}p(t,x,y)=\delta (x-y)$ . Это означает, что $\underset{t\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\mathbf{P}(t)=\mathbf{1}.$$\lim _{t\to 0}\mathbf {P} (t)=\mathbf {1} .$  Пусть существует предел (также обобщённая функция)

$q(x,y)=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{p(h,x,y)-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x-<!--\; -\; -->y)}{h}.$$q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (x-y)}{h}}.$ 

Тогда оператор $\mathbf{Q}$${\mathbf {Q}}$  действует на функции $f(x)$$f(x)$ , определённые на ${\mathbb{R}}^n,$$\mathbb {R} ^{n},$  как $(\mathbf{Q}f)(x)=\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}q(x,y)f(y)dy,$$(\mathbf {Q} f)(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y)\,dy,$  и прямое уравнение Колмогорова принимает вид

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p(t,x,y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}p(t,x,z)q(z,y)dz,$${\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)q(z,y)\,dz,$ 

а обратное уравнение Колмогорова

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p(t,x,y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}q(x,z)p(t,z,y)dz.$${\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,z)p(t,z,y)\,dz.$ 

Пусть оператор $\mathbf{Q}$${\mathbf {Q}}$  — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:

$(\mathbf{Q}f)=\frac{1}{2}\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}^{ij}(x)\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^j}+\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{b}^j(x)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^j}.$$(\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}.$ 

(это означает, что $q(x,y)$$q(x,y)$  есть линейная комбинация первых и вторых производных $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x-<!--\; -\; -->y)$$\delta (x-y)$  с непрерывными коэффициентами). Матрица $a^{ij}$$a^{ij}$  симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p(t,x,y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{1}{2}\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^j}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-<!--\; -\; -->\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^j}(b^j(y)p(t,x,y)).$${\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum _{j}{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).$ 

Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор $b^j$$b^{j}$  в физической литературе называется вектором сноса, а матрица $a^{ij}$$a^{ij}$  — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p(t,x,y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{1}{2}\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}^{ij}(x)\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^j}p(t,x,y)+\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{b}^j(x)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^j}p(t,x,y).$${\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}p(t,x,y)+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}p(t,x,y).$ 

См. такжеПравить

• Цепь Маркова
• Уравнение Фоккера — Планка

ЛитератураПравить

• Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.