Обобщённая восприимчивость

Обобщённая восприимчивость — характеристика линейного отклика термодинамической системы на слабое возмущение.

Если на систему действует сила зависящая от времени $f(t)$$f(t)$, то, согласно принципу Ле Шателье — Брауна, она вызывает в системе силы, которые пытатются уменьшить её влияние. В общем случае при малых приложенных возмущениях отзыв любой термодинамической системы будет линейным и характеризоваться опредёленным запаздыванием

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}(t)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})f(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$${\bar {x}}(t)=\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau$ ,

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}$${\bar {x}}$ — средний отклик системы, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(t)$$\alpha (t)$ — определённая функция времени.

Обобщённой восприимчивостью называют фурье образ величины $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(t)$$\alpha (t)$

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(t)e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}dt$$\alpha (\omega )=\int _{0}^{\infty }\alpha (t)e^{i\omega t}dt$

Под определение обобщённой восприимчивости подпадают привычные поляризуемость, магнитная восприимчивость и многие другие величины.

Обобщённая восприимчивость — комплексная величина:

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})+i{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\alpha (\omega )=\alpha ^{\prime }(\omega )+i\alpha ^{\prime \prime }(\omega )$

Мнимая часть восприимчивости описывает процессы диссипации энергии.

Действительная и мнимая часть обобщенной восприимчивости не полностью независимы, а связаны между собой соотношениями аналогичными соотношениями Крамерса — Кронига:

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})-<!--\; -\; -->1=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathcal{P}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x)}{x-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}dx,$$\alpha ^{\prime }(\omega )-1={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\alpha ^{\prime \prime }(x)}{x-\omega }}dx,$

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathcal{P}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x)-<!--\; -\; -->1}{x-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}dx$$\alpha ^{\prime \prime }=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\alpha ^{\prime }(x)-1}{x-\omega }}dx$

Пример Править

Рассмотрим гармоничный осциллятор с затуханием $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  и внешним возмущением $h(t)$$h(t)$ ,

$\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{x}(t)+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}(t)+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^{2}x(t)=h(t).$${\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).\,$ 

Тогда комплексную обобщённую восприимчивость можно определить через преобразование Фурье:

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{h}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}=\frac{1}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2+i\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}.$${\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.\,$ 

Источники Править

• Linear Response Functions in Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9