Поверхность Ляпунова

Поверхность S называется поверхностью Ляпунова, если выполняются следующие условия:

1. В каждой точке поверхности S существует определённая нормаль (касательная плоскость);
2. Существует такое положительное число d, что прямые, параллельные нормали в любой точке P поверхности S, пересекают не более одного раза окрестность Ляпунова — ту часть поверхности S, которая лежит внутри сферы радиуса d с центром P;
3. Угол γ между нормалями в двух разных точках, находящихся внутри одной окрестности Ляпунова, удовлетворяет следующему условию: γ ≤ Ar^δ, где r — расстояние между этими точками, A — некоторая конечная постоянная и 0<δ≤1.

Свойства поверхности Ляпунова:

1. Если $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G$$\partial G$ — поверхность Ляпунова, тогда справедливо $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G\in <!--\; \in \; -->C^1$$\partial G\in C^{1}$, обратное, вообще говоря, не верно.
   
2. Если $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G\in <!--\; \in \; -->C^2$$\partial G\in C^{2}$, тогда $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G$$\partial G$ является поверхностью Ляпунова с δ=1.

Поверхности типа поверхностей Ляпунова позволяют строить гладкие дифференцируемые S-функции.

См. такжеПравить

• Кривая Ляпунова
• S-функция

ЛитератураПравить

• А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
• Л.А. Дмитриева. конспект Методы Матфизики.
• Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Глава V. Уравнения эллиптического типа. Краевые задачи для уравнения Лапласа. // Лекции по математической физике. — 2-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 203. — 416 с. — ISBN 5-211-04899-7.