Начальный объект

Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект $I$$I$ категории $\mathcal{C}$${\mathcal C}$ такой, что для любого объекта $X\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{O}\mathrm{b}}_{\mathcal{C}}$$X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ существует единственный морфизм $I\to <!--\; \to \; -->X$$I\to X$.

Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект $T$$T$ — терминальный, если для любого объекта $X\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{O}\mathrm{b}}_{\mathcal{C}}$$X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ существует единственный морфизм $X\to <!--\; \to \; -->T$$X\to T$.

Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.

Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.

Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если $I_1$$I_1$ и $I_2$$I_{2}$ — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.

Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathcal{C}$$\varnothing \to {\mathcal {C}}$, то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.

ПримерыПравить

В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).

В категории колец кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$  является начальным объектом, и нулевое кольцо с $0=1$$0=1$  — терминальным объектом. В категории полей не существует начальных и терминальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики $p$$p$  имеется начальный объект — поле из $p$$p$  элементов.

В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория $\mathbf{1}$${\mathbf 1}$  с единственным объектом и морфизмом.

Любое топологическое пространство $X$$X$  можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими, что $U\subset <!--\; \subset \; -->V$$U\subset V$ , существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории, $X$$X$  — терминальный. Для такой категория топологического пространства $X$$X$  и произвольной малой категории $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  все контравариантные функторы из $X$$X$  в $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на $X$$X$  с коэффициентами в $\mathcal{C}$${\mathcal C}$ . Если $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  имеет начальный объект $c$$c$ , то постоянный функтор, отображающий $X$$X$  в $c$$c$ , является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.

В категории схем спектр $\mathbf{S}\mathbf{p}\mathbf{e}\mathbf{c}(Z)$$\mathbf {Spec} (Z)$  — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.

Начальные и терминальные объекты также можно характеризовать при помощи универсальных стрелок и сопряжённых функторов. Для категории $\mathbf{1}$${\mathbf 1}$  из единственного объекта $\bullet <!--\; \bullet \; -->$$\bullet$  и (единственного) функтора $U:<!--\; :\; -->\mathcal{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{1}$$U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1}$  начальный объект $I$$I$  категории $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  — это универсальная стрелка из $\bullet <!--\; \bullet \; -->$$\bullet$  в $U$$U$ . Функтор, отправляющий $\bullet <!--\; \bullet \; -->$$\bullet$  в $I$$I$  — левый сопряженный для $U$$U$ . Соответственно, терминальный объект $T$$T$  категории $\mathcal{C}$${\mathcal C}$  — универсальная стрелка из $U$$U$  в $\bullet <!--\; \bullet \; -->$$\bullet$ , а функтор, отправляющий $\bullet <!--\; \bullet \; -->$$\bullet$  в $I$$I$  — правый сопряженный для $U$$U$ . Обратно, универсальная стрелка из $X$$X$  в функтор $U$$U$  может быть определена как начальный объект в категории запятой $(X\downarrow <!--\; \downarrow \; -->U)$$(X\downarrow U)$ . Двойственно, универсальный морфизм из $U$$U$  в $X$$X$  — терминальный объект в $(U\downarrow <!--\; \downarrow \; -->X)$$(U\downarrow X)$ .

ЛитератураПравить

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.