Неравенство Пидо

Неравенство Пидо (также неравенство Пидо — Нойберга) — неравенство в геометрии, названное в честь Даниеля Пидо^[en] (1910—1998) и Жозефа Нойберга (1840—1926). Неравенство утверждает, что если $a$$a$, $b$$b$, $c$$c$ и $a^{\prime }$$a'$, $b^{\prime }$$b'$, $c^{\prime }$$c'$ — длины сторон треугольников $ABC$$ABC$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$A'B'C'$, a $S$$S$ и $S^{\prime }$$S'$ — их площади, тогда

$a^2(-<!--\; -\; -->{a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2)+b^2({a^{\prime }}^2-<!--\; -\; -->{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2)+c^2({a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2-<!--\; -\; -->{c^{\prime }}^2)\ge <!--\; \ge \; -->16S{S}^{\prime },$$a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'}^{2})\geq 16SS',$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны с парами соответствующих сторон $(a,a^{\prime })$$(a,a')$, $(b,b^{\prime })$$(b,b')$ и $(c,c^{\prime })$$(c,c')$.

Выражение слева не только симметрично для перестановок пар $(a,a^{\prime })$$(a,a')$, $(b,b^{\prime })$$(b,b')$ и $(c,c^{\prime })$$(c,c')$, но и (что, возможно, не так очевидно) остаётся неизменным, если поменять местами $a$$a$ и $a^{\prime }$$a'$, $b$$b$ и $b^{\prime }$$b'$, $c$$c$ и $c^{\prime }$$c'$. Другими словами, выражение слева является симметрической функцией от пары треугольников.

Частным случаем неравенства Пидо, в котором один из треугольников равносторонний, является неравенство Вайценбока^[en].

Пидо обнаружил это неравенство в 1941 году и опубликовал его в нескольких статьях. Позже он узнал, что неравенство было уже известно Нойбергу в XIX веке, который, однако, не доказал, что из равенства следует подобие двух треугольников.

ЛитератураПравить

• Daniel Pedoe: An Inequality Connecting Any Two Triangles. The Mathematical Gazette, Vol. 25, No. 267 (Dec., 1941), pp. 310—311 (JSTOR Архивная копия от 18 августа 2016 на Wayback Machine)
• Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality. The American Mathematical Monthly, volume 70, number 9, page 1012, November, 1963.
• Daniel Pedoe: An Inequality for Two Triangles. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volume 38, part 4, page 397, 1943.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, p. 108 Архивная копия от 18 августа 2016 на Wayback Machine
• D.S. Mitrinović, Josip Pečarić: About the Neuberg-Pedoe and the Oppenheim inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 · January 1988 (online copy Архивная копия от 7 августа 2016 на Wayback Machine)