Неравенство Лоясевича

Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Станисловом Лоясевичем (польск. Stanisław Łojasiewicz), дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство нашло применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений.

ФормулировкаПравить

Пусть функция $f:U\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:U\to \mathbb{R}$  является вещественно аналитической на непустом открытом множестве $U\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$U\subset \mathbb{R} ^{n}$  и пусть $Z=\{x\in <!--\; \in \; -->U:f(x)=0\}$$Z=\{x\in U:f(x)=0\}$  — множество нулей функции $f$$f$ . Если множество $Z$$Z$  непусто, то для любого непустого компакта $K\subset <!--\; \subset \; -->U$$K\subset U$  существуют такие константы $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->2$$\alpha \geq 2$  и $C>0$$C>0$ , что имеет место неравенство

$\underset{z\in <!--\; \in \; -->Z}{inf}|x-<!--\; -\; -->z{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\le <!--\; \le \; -->C|f(x)|\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->K,$$\inf _{{z\in Z}}|x-z|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,$ 

число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  в котором может быть достаточно большим.

Кроме того, для любой точки $p\in <!--\; \in \; -->U$$p\in U$  существует достаточно малая её окрестность $W\subset <!--\; \subset \; -->U$$W\subset U$  и такие константы $0<\beta <1$  и $C>0$$C>0$ , что имеет место второе неравенство Лоясевичаː

$|f(x)-<!--\; -\; -->f(p){|}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\le <!--\; \le \; -->C|\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f(x)|\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->W.$$|f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.$ 

Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.

ЛитератураПравить

• Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II, Lojasiewicz inequalities and applications, arXiv:1402.5087 Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine
• Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.
• Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets, Publications Mathématiques de l'IHÉS (no. 67): 5–42, MR: 972342, ISSN 1618-1913, <http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0>  Архивная копия от 8 августа 2014 на Wayback Machine
• Ji, Shanyu; Kollár, János & Shiffman, Bernard (1992), A global Łojasiewicz inequality for algebraic varieties, Transactions of the American Mathematical Society Т. 329 (2): 813–818, MR: 1046016, ISSN 0002-9947, doi:10.2307/2153965, <http://www.ams.org/journals/tran/1992-329-02/S0002-9947-1992-1046016-6/>  Архивная копия от 1 ноября 2015 на Wayback Machine