Неравенство Гюйгенса

Неравенство Гюйгенса - популярное наименование в русскоязычной литературе одного из частных случаев неравенства Йенсена.

ФормулировкаПравить

Пусть $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}_{+}$$a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathbb {R} }_{+}$ . Тогда

$1+\sqrt[n]{\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{a}_i}\le <!--\; \le \; -->\sqrt[n]{\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(1+a_i)}$$1+{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{a_{i}}}}\leq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}{(1+a_{i})}}}$ 

Связь с неравенством ЙенсенаПравить

Логарифмируя обе части неравенства и переобозначая $a_i=e^{x_i}$$a_{i}=e^{x_{i}}$ , получим

$\ln <!--\; \; -->(1+e^{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i})\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\ln <!--\; \; -->(1+e^{x_i})$$\ln(1+e^{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}})\leq {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\ln {(1+e^{x_{i}})}}$ 

А это — в точности неравенство Йенсена для функции $f(x)=\ln <!--\; \; -->(1+e^x)$$f(x)=\ln {(1+e^{x})}$ , которая выпукла, поскольку

$f^{\prime }(x)=\frac{e^x}{1+e^x}=1-<!--\; -\; -->\frac{1}{1+e^x}$$f'(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}=1-{\frac {1}{1+e^{x}}}$ 

$f^{″}(x)=\frac{1}{(1+e^x{)}^2}>0$$f''(x)={\frac {1}{(1+e^{x})^{2}}}>0$ 

Нетривиальность неравенстваПравить

Переобозначая $x_i=\sqrt[n]{a_i}$$x_{i}={\sqrt[{n}]{a_{i}}}$  и возводя обе части неравенства в $n$$n$ -тую степень, получим. что оно эквивалентно неравенству

${\left(1+\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{x}_i\right)}^n\le <!--\; \le \; -->\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(1+{x_i}^n)$${\left({1+\prod \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)}^{n}\leq \prod \limits _{i=1}^{n}{(1+{x_{i}}^{n})}$ 

После раскрытия скобок у левой и правой части окажутся два общих слагаемых - $1$$1$  и $\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{x_i}^n$$\prod \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{n}}$ . В случаях когда либо все $x_{i}<1$ , либо когда все $x_i>1$$x_{i}>1$ , какое-то одно из этих слагаемых оказывается наибольшим, какое-то - наименьшим, а значения остальных (без учёта коэффициентов при них после раскрытия бинома Ньютона) оказываются между ними. Именно неравенство между суммами совершенно разных произведений этих промежуточных слагаемых представляет собой основную сложность для вывода неравенства напрямую, без неравенства Йенсена.

ЛитератураПравить

• Л. В. Радзивиловский. Обобщение перестановочного неравенства и монгольское неравенство // Математическое Просвещение. — 2006. — № 10.