Неравенство Боголюбова (квантовая статистическая физика)

Неравенство Боголюбова (квантовая статистическая физика) — неравенство для фурье-образов статистических функций Грина в энергетическом представлении и корреляционных средних. Используется в теории ферромагнетизма, антиферромагнетизма, кристаллических структур для доказательства невозможности фазовых переходов в одно- и двумерных системах.

Формулировка Править

Неравенство Боголюбова для функций Грина:

$\mid <!--\; \mid \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->B^{+};B⟩<!--\; ⟩\; -->{⟩<!--\; ⟩\; -->}_{E=0}\mid <!--\; \mid \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{\mid <!--\; \mid \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\left[Q;B\right]⟩<!--\; ⟩\; -->{\mid <!--\; \mid \; -->}^2}{\mid <!--\; \mid \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\left[Q;\left[Q^{+};B\right]\right]⟩<!--\; ⟩\; -->\mid <!--\; \mid \; -->}$$\mid \langle \langle B^{+};B\rangle \rangle _{E=0}\mid \geqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mid \langle \left[Q;B\right]\rangle \mid ^{2}}{\mid \langle \left[Q;\left[Q^{+};B\right]\right]\rangle \mid }}$ 

Здесь: $⟨<!--\; ⟨\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->B^{+};B⟩<!--\; ⟩\; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \langle B^{+};B\rangle \rangle$  — фурье-представление двухвременной функции Грина $⟨<!--\; ⟨\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->A(t);B(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})⟩<!--\; ⟩\; -->⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})⟨<!--\; ⟨\; -->\left[A(t);B(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\right]⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \langle A(t);B(\tau )\rangle \rangle =-i\theta (t-\tau )\langle \left[A(t);B(\tau )\right]\rangle$  в энергетическом представлении: $⟨<!--\; ⟨\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->A(t);B(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})⟩<!--\; ⟩\; -->⟩<!--\; ⟩\; -->={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->A;B⟩<!--\; ⟩\; -->{⟩<!--\; ⟩\; -->}_E\exp <!--\; \; -->-<!--\; -\; -->iE(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}))dE$$\langle \langle A(t);B(\tau )\rangle \rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }\langle \langle A;B\rangle \rangle _{E}\exp {-iE(t-\tau ))dE}$ .

Неравенство Боголюбова для корреляционной функции $⟨<!--\; ⟨\; -->B{B}^{+}+B^{+}B⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle BB^{+}+B^{+}B\rangle$ :

$⟨<!--\; ⟨\; -->B{B}^{+}+B^{+}B⟩<!--\; ⟩\; -->⩾<!--\; ⩾\; -->2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\frac{\mid <!--\; \mid \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\left[Q;B\right]⟩<!--\; ⟩\; -->{\mid <!--\; \mid \; -->}^2}{\mid <!--\; \mid \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\left[Q;\left[Q^{+};B\right]\right]⟩<!--\; ⟩\; -->\mid <!--\; \mid \; -->}$$\langle BB^{+}+B^{+}B\rangle \geqslant 2\theta {\frac {\mid \langle \left[Q;B\right]\rangle \mid ^{2}}{\mid \langle \left[Q;\left[Q^{+};B\right]\right]\rangle \mid }}$ 

Литература Править

• Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И. Некоторые вопросы статистической механики. — М.: Высшая школа, 1975. — 352 с.