Изометрия (математика)

Изометрия — преобразование между метрическими пространствами, сохраняющая расстояния между точками.

ОпределениеПравить

Пусть $X$$X$  и $Y$$Y$  — метрические пространства. Отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  называется изометрией, если

$|f(x)-<!--\; -\; -->f(x^{\prime }){|}_Y=|x-<!--\; -\; -->x^{\prime }{|}_X$$|f(x)-f(x')|_{Y}=|x-x'|_{X}$ 

для любых $x,x^{\prime }\in <!--\; \in \; -->X$$x,x'\in X$ . Здесь $|x-<!--\; -\; -->x^{\prime }{|}_X$$|x-x'|_{X}$  обозначает расстояние между $x$$x$  и $x^{\prime }$$x'$  в пространстве $X$$X$ .

СвойстваПравить

• Изометрия является частным случаем преобразования подобия, соответственно биекцией.
• Изометрия сохраняет углы между прямыми.
• Всякая изометрия плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом относительно некоторой точки, либо скользящей симметрией. Это утверждение известно, как Теорема Шаля.

В римановой геометрииПравить

В римановой геометрии изометрией называют диффеоморфизм между (псевдо)римановыми многообразиями, который сохраняет метрический тензор.

ЛитератураПравить

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.