Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось ($a$$a$),
• эксцентриситет ($e$$e$),
• наклонение ($i$$i$),
• долгота восходящего узла ($\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$),
• аргумент перицентра ($\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$),
• средняя аномалия ($M_o$$M_{o}$).

Кеплеровы элементы орбиты (рис.1)

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуосьПравить

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось $a$$a$  положительна и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса.

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: $a=-<!--\; -\; -->\frac{GMm}{2E}$$a=-{\frac {GMm}{2E}}$ . Связана с положением и скоростью тела соотношением $\frac{1}{a}=\frac{2}{r_0}-<!--\; -\; -->\frac{v_0^2}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}\mu }$ , где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела.

ЭксцентриситетПравить

Основная статья: Эксцентриситет орбиты

 

Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается «$e$$e$ » или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{b^2}{a^2}}$$\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$ , где $b$$b$  — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  орбита представляет собой:

• $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=0$$\varepsilon = 0$  — окружность
• $0<\varepsilon <1$  — эллипс
• $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=1$$\varepsilon = 1$  — параболу
• $1<\varepsilon <\infty$  — гиперболу, $b$$b$  — мнимое число
• $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\varepsilon =\infty$  — прямую (вырожденный случай)

НаклонениеПравить

Запрос «Наклонение (астрономия)»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

 

$A$$A$  – объект
$B$$B$  – центральный объект
$C$$C$  – плоскость отсчёта
$D$$D$  – плоскость орбиты
 $i$$i$   – наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если $0^{\circ }<i<90^{\circ }$ , то движение небесного тела называется прямым.

Если $90^{\circ }<i<180^{\circ }$ , то движение небесного тела называется обратным (ретроградным).

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узлаПравить

Запрос «Долгота восходящего узла»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

$\mathbf{n}=\mathbf{k}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{h}=(-<!--\; -\; -->h_y,h_x,0)$$\mathbf {n} =\mathbf {k} \times \mathbf {h} =(-h_{y},h_{x},0)$ 

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\arccos <!--\; \; -->\frac{n_x}{\left|\mathbf{n}\right|}(n_y\ge <!--\; \ge \; -->0);$$\Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);$ 

$\Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).$ 

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентраПравить

Запрос «Аргумент перицентра»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается ($\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ ).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$${\bar {\omega }}$ . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным.

Средняя аномалияПравить

Запрос «Средняя аномалия»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

 

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

 

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой $M$$M$  (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия $M$$M$  вычисляется по следующим формулам:

$M=M_0+n(t-<!--\; -\; -->t_0)$$M=M_{0}+n(t-t_{0})$ 

где:

• $M_0$$M_{0}$  — средняя аномалия на эпоху $t_0$$t_0$ ,
• $t_0$$t_0$  — начальная эпоха,
• $t$$t$  — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• $n$$n$  — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

$M=E-<!--\; -\; -->e\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->E$$M=E-e\cdot \sin E$ 

где:

• $E$$E$  — эксцентрическая аномалия ($E$$E$  на рис.3),
• $e$$e$  — эксцентриситет.

СсылкиПравить

• Gurfil, Pini (2005). “Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits”. J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079—1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. DOI:10.2514/1.14760.
• Tutorial  (неопр.). AMSAT. Архивировано 14 октября 2002 года.
• Orbits Tutorial  (неопр.). marine.rutgers.edu. Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано 19 апреля 2021 года.