Модель упорядоченного выбора

Модель упорядоченного выбора (упорядоченная регрессия, англ. ordered choice) — применяемая в эконометрике модель с упорядоченной (с ранжированными значениями) дискретной зависимой переменной, в качестве которой могут выступать, например, оценки чего-либо по пятибалльной шкале, рейтинги компаний и т. д. В рамках данной модели предполагается, что количество значений зависимой переменной конечно.

Сущность модели Править

Пусть $y$$y$  — наблюдаемая дискретная переменная с $q$$q$  возможными упорядоченными значениями, которые для упрощения можно принять равными целым числам от $0$$0$  до $q-<!--\; -\; -->1$$q-1$  (или от $1$$1$  до $q$$q$ ). Пусть также $x$$x$ -вектор факторов, влияющих на значение зависимой переменной. Предполагается, что существует «обычная» (недискретная) скрытая переменная $y^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$y^{*}$ , также зависящая от этих факторов, в зависимости от значений которой зависимая переменная принимает те или иные значения. Соответственно необходимо определить (их можно либо задать априорно, либо оценить вместе с другими параметрами модели) несколько пороговых значений скрытой переменной следующим образом:

$y={\begin{cases}1,y^{*}\leqslant c_{1}\\2,c_{1}<y^{*}\leqslant c_{2}\\3,c_{2}<y^{*}\leqslant c_{3}\\...\\q,y^{*}>c_{q-1}\end{cases}}$ 

Соответственно, если обозначить $p_i=P(y=i|X=x)$$p_{i}=P(y=i|X=x)$ , $i=\mathrm{1...}q$$i=1...q$ , то

$p_{i}=P(c_{i-1}<y^{*}\leqslant c_{i})$ .

где $c_0=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c_{0}=-\infty$ , $c_q=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$c_{q}=\infty$ .

Для скрытой переменной предполагается обычная линейная модель регрессии по факторам модели: $y^{\ast <!--\; \ast \; -->}=x^{T}b+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$y^{*}=x^{T}b+\varepsilon$ . Обозначим интегральную функцию распределения случайной ошибки этой модели через $F$$F$ . Тогда

$p_{i}=P(c_{i-1}<y^{*}\leqslant c_{i})=P(c_{i-1}-x^{T}b<\varepsilon \leqslant c_{i}-x^{T}b)=F(c_{i}-x^{T}b)-F(c_{i-1}-x^{T}b)$ 

С учетом того, что $F(c_0-<!--\; -\; -->x^{T}b)=0$$F(c_{0}-x^{T}b)=0$ , $F(c_q-<!--\; -\; -->x^{T}b)=1$$F(c_{q}-x^{T}b)=1$  фактически модель упорядоченного выбора можно записать следующим образом:

$\{\begin{array}{l}{p}_1=F(c_1-<!--\; -\; -->x^{T}b)\\ p_2=F(c_2-<!--\; -\; -->x^{T}b)-<!--\; -\; -->F(c_1-<!--\; -\; -->x^{T}b)\\ p_3=F(c_3-<!--\; -\; -->x^{T}b)-<!--\; -\; -->F(c_2-<!--\; -\; -->x^{T}b)\\ ...\\ p_q=1-<!--\; -\; -->F(c_{q-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->x^{T}b)\end{array}$${\begin{cases}p_{1}=F(c_{1}-x^{T}b)\\p_{2}=F(c_{2}-x^{T}b)-F(c_{1}-x^{T}b)\\p_{3}=F(c_{3}-x^{T}b)-F(c_{2}-x^{T}b)\\...\\p_{q}=1-F(c_{q-1}-x^{T}b)\end{cases}}$ 

В качестве распределения $F$$F$  обычно используют либо нормальное распределение (упорядоченный пробит), либо логистическое распределение (упорядоченный логит)

Оценка параметров Править

Оценка параметров модели (включая пороговые значения) производится обычно методом максимального правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия равна:

$l(b,c)=\underset{i=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}t,y_t=i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\ln <!--\; \; -->p_i(x_t)$$l(b,c)=\sum _{i=1}^{q}\sum _{\forall t,y_{t}=i}\ln p_{i}(x_{t})$ 

Максимизация этой функции по неизвестным параметрам b и c и позволяет найти соответствующие оценки ММП.

См. также Править

• Пробит-регрессия
• Логистическая регрессия