Модель исправления ошибок

Модель исправления (коррекции) ошибок (англ. ECM, Error Correction Model) — модель временных рядов, в которой краткосрочная динамика корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. В виде ECM формально можно представить любую модель авторегрессии и распределенного лага (ADL). Однако особо важный смысл это представление имеет для интегрированных временных рядов и тесно связано с понятием коинтеграции. Механизм коррекции ошибок обеспечивает выполнение долгосрочной зависимости между переменными.

Математическая модельПравить

Пусть $y_t,x_t\sim <!--\; \sim \; -->I(1)$$y_{t},x_{t}\sim I(1)$ , то есть интегрированные ряды первого порядка. Модель исправления ошибок имеет следующий вид:

$△<!--\; △\; -->y_t=\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i△<!--\; △\; -->y_{t-<!--\; -\; -->i}+\underset{i=0}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i△<!--\; △\; -->x_{t-<!--\; -\; -->i}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(y_{t-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_L-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_L{x}_{t-<!--\; -\; -->1})+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$\vartriangle y_{t}=\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}\vartriangle y_{t-i}+\sum _{i=0}^{q}\beta _{i}\vartriangle x_{t-i}-\gamma (y_{t-1}-\alpha _{L}-\beta _{L}x_{t-1})+\varepsilon _{t}$ 

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$\varepsilon _{t}$  — стационарный процесс (например, белый шум).

Поскольку по предположению первые разности временных рядов стационарны, то выражение в скобках тоже должно быть стационарным процессом, следовательно, существует долгосрочная зависимость между временными рядами

$y_t^{\ast <!--\; \ast \; -->}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_L+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_L{x}_t^{\ast <!--\; \ast \; -->}+u_t$$y_{t}^{*}=\alpha _{L}+\beta _{L}x_{t}^{*}+u_{t}$ ,

где $u_t$$u_{t}$  — стационарный процесс.

То есть временные ряды коинтегрированы. Таким образом, модель отражает краткосрочную зависимость между изменениями переменных и коррекцию динамики этих рядов в зависимости от величины отклонения (ошибки) от долгосрочной зависимости.

Простейший вариант такой модели, когда $p=q=0$$p=q=0$ 

$△<!--\; △\; -->y_t={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_0△<!--\; △\; -->x_t-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(y_{t-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_L-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_L{x}_{t-<!--\; -\; -->1})+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$\vartriangle y_{t}=\beta _{0}\vartriangle x_{t}-\gamma (y_{t-1}-\alpha _{L}-\beta _{L}x_{t-1})+\varepsilon _{t}$ 

В этой модели краткосрочно в среднем изменения зависимой переменной пропорциональны изменению фактора (с учётом стационарной случайной компоненты конечно). Однако, если такая динамика приведет к отклонению от долгосрочной зависимости, то пропорционально этому отклонению корректируется и изменение зависимой переменной. Этот механизм исправления ошибок и гарантирует выполнение долгосрочной зависимости.

См. такжеПравить

• Интегрированный временной ряд
• Коинтеграция
• Модель авторегрессии и распределенного лага
• Векторная авторегрессия

ЛитератураПравить

• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.