Модель Блэка

В финансовой математике, модель Блэка (известная также как модель Black-76) является разновидностью модели ценообразования опционов Блэка–Шоулза. Она имеет непосредственные приложения в ценообразовании облигационных опционов, "кэп" и "флор" соглашений, свопционов. Модель впервые приведена в статье Фишера Блэка в 1976.

Модель Блэка может быть обобщена на класс моделей известный как форвадные логнормальные модели, также известные как модели рынка LIBOR.

Формула БлэкаПравить

Формула Блэка подобна формуле Блэка-Шоулза для оценки фондовых опционов, за исключением наличной цены базового актива, которая заменяется на дисконтную цену фьючерса F.

Предположим, что существует константа безрисковой процентной ставки r, а цена фьючерса F(t) на определённый базовый актив имеет логнормальное распределение с параметром волатильности σ. Тогда формула Блэка устанавливает цену на европейский "колл" опцион со сроком погашения T на фьючерс с ценой исполнения K и датой поставки T' (где $T^{\prime }\ge <!--\; \ge \; -->T$$T'\geq T$ ):

$c=e^{-<!--\; -\; -->rT}[FN(d_1)-<!--\; -\; -->KN(d_2)]$$c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]$ 

Соответствующая цена "пут" опциона:

$p=e^{-<!--\; -\; -->rT}[KN(-<!--\; -\; -->d_2)-<!--\; -\; -->FN(-<!--\; -\; -->d_1)]$$p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]$ 

где

$d_1=\frac{\ln <!--\; \; -->(F/K)+({\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2/2)T}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{T}}$$d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}$ 

$d_2=\frac{\ln <!--\; \; -->(F/K)-<!--\; -\; -->({\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2/2)T}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{T}}=d_1-<!--\; -\; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{T},$$d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},$ 

а N(.) — кумулятивное нормальное распределение.

Отметим, что T' не возникает в формуле, даже если он больше T. Это следствие того, что фьючерсы пересчитываются по рынку и, следовательно, выплата происходит при исполнении опциона. Если мы рассмотрим опцион на форвардный контракт, истекающий в момент T' > T, то выплата не произойдёт до момента T'. Таким образом, коэффициент дисконтирования $e^{-<!--\; -\; -->rT}$$e^{-rT}$  заменяется на $e^{-<!--\; -\; -->r{T}^{\prime }}$$e^{-rT'}$ , так как необходимо принять во внимание стоимость денег с учётом фактора времени. Различие в двух приведённых случаях из вывода формулы, приведённого ниже.

Следствия и допущенияПравить

Формула Блэка может быть легко выведена с использованием формулы Маграбе, которая в свою очередь является простым, но полезным, применением формулы Блэка-Шоулза.

Выплата по "колл" опциону на фьючерс равна max (0, F(T) - K). Мы можем рассматривать обменный опцион (опцион Маграбе), рассматривая $e^{-<!--\; -\; -->r(T-<!--\; -\; -->t)}F(t)$$e^{-r(T-t)}F(t)$  как первый актив, а как второй безрисковое погашение облигации в $1 в момент времени T. Тогда "колл" опцион исполняется в момент T, когда первый актив ценнее, чем K безрисковых облигаций. С такими активами будут выполнены предположения формулы Маграбе.

Единственное, что остаётся проверить, это то, что первый актив, на самом деле является активом. Это можно видеть, если рассмотреть портфель, сформированный в момент 0 посредством лонга форвардного контракта с датой поставки T и шорта F(0) безрисковых облигаций. Отметим, что при определённой процентной ставке, форвардные и фьючерсные цены равны, так что тут нет неоднозначности. Затем в любой момент t вы можете произвести зачёт облигации для форвардного контракта, шортируя другой форвард с такой же датой поставки, получив разницу цен форвардов, но дискутируя с прежним значением $e^{-<!--\; -\; -->r(T-<!--\; -\; -->t)}[F(t)-<!--\; -\; -->F(0)]$$e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]$ . Ликвидация F(0) безрисковых облигаций, каждая из которых дороже $e^{-<!--\; -\; -->r(T-<!--\; -\; -->t)}$$e^{-r(T-t)}$  приведёт к чистой прибыли $e^{-<!--\; -\; -->r(T-<!--\; -\; -->t)}F(t)$$e^{-r(T-t)}F(t)$ .

См. такжеПравить

• Финансовая математика
• Модель Блэка — Шоулза

СсылкиПравить

Обсуждение

• Bond Options, Caps and the Black Model Dr. Milica Cudina, University of Texas at Austin

Онлайн инструменты

• Caplet And Floorlet Calculator Dr. Shing Hing Man, Thomson-Reuters' Risk Management
• 'Greeks' Calculator using the Black model, Razvan Pascalau, Univ. of Alabama

ПримечанияПравить

• Black, Fischer (1976). The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.
• Garman, Mark B. and Steven W. Kohlhagen (1983). Foreign currency option values, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Miltersen, K., Sandmann, K. et Sondermann, D., (1997): "Closed Form Solutions for Term Structure Derivates with Log-Normal Interest Rates", Journal of Finance, 52(1), 409-430.