Формула Маграбе

В финансовой математике, формула Маграбе это одна из формул оценки опционов. Она применяется к опциону на обмен (опцион Маграбе) одного рискованного актива на другой в момент погашения. Формула была независимо предложена Вильямом Маграбе и Стенли Фишером в 1978 году.

ОпределениеПравить

Пусть $S_1(t)$$S_{1}(t)$  и $S_2(t)$$S_{2}(t)$  — цены двух рискованных активов в момент $t$$t$ , каждый из них имеет фиксированный непрерывный дивиденд равный $q_i$$q_{i}$ . Опцион $C$$C$ , который мы хотим оценить даёт покупателю право (но не обязанность) обменять второй актив на первый в момент погашения $T$$T$ . Другими словами его выигрыш $C(T)$$C(T)$  составит $max(0,S_1(T)-<!--\; -\; -->S_2(T))$$\max(0,S_{1}(T)-S_{2}(T))$ .

Модель рынка Маграбе предполагает только существование двух рискованных активов, чьи цены следуют геометрическому броуновскому движению. Волатильности этих броуновских движений не постоянны, но важно, что волатильность $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  их отношения $S_1/S_2$$S_{1}/S_{2}$  является константой. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (такого как облигация с нулевым купоном) или какой-либо нормы процентной ставки.

Если волатильности $S_i$$S_{i}$  равны ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i$$\sigma_i$ , то $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\sqrt{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1^2+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2^2-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$$\textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}$ , то $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — коэффициент корреляции броуновских движений $S_i$$S_{i}$ .

Формула Маграбе устанавливает справедливую цену опциона в начальный момент времени как:

$e^{-<!--\; -\; -->q_{1}T}{S}_1(0)N(d_1)-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->q_{2}T}{S}_2(0)N(d_2)$$e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})$ 

где через $N$$N$  обозначено кумулятивное стандартное нормальное распределение,

$d_1=\frac{\ln <!--\; \; -->(S_1(0)/S_2(0))+(q_2-<!--\; -\; -->q_1+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2/2)T}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{T}}$$d_{1}={\frac {\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}$ ,

$d_2=d_1-<!--\; -\; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{T}$$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}$ .

ДоказательствоПравить

Формула доказывается сведением к формуле Блэка — Шоулза:

• Во-первых, рассмотрим оба актива, оценённых в единицах $S_2$$S_{2}$  (в таких случаях говорят, что $S_2$$S_{2}$  используется в качестве счётных денег), это означает, что единица первого актива теперь стоит $S_1/S_2$$S_{1}/S_{2}$  единиц второго актива, а второй актив стоит в точности 1.
• При таком выборе счётных денег, второй актив становится безрисковым и его дивидендная ставка $q_2$$q_{2}$  совпадает с нормой процентной ставки. Доход опциона, пересчитанный в соответствии с изменением счётных денег, равен $max(0,S_1(T)/S_2(T)-<!--\; -\; -->1)$$\max(0,S_{1}(T)/S_{2}(T)-1)$ .
• Таким образом, исходный опцион становится колл-опционом на первый базовый актив (с его счётной ценой) ценой страйк равной 1 единице безрискового актива. Отметим, что дивидендная ставка $q_1$$q_{1}$  первого актива остаётся той же самой даже после пересчёта.
• Применяя формулу Блэка — Шоулза к этим значениям как к соответствующим входным данным, например, значение исходного актива $S_1(0)/S_2(0)$$S_{1}(0)/S_{2}(0)$ , процентная ставка $q_2$$q_{2}$ , волатильность $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  и т. д, получим цену опциона, выраженную в счётных деньгах.
• Так как окончательная цена опциона выражена в единицах $S_2$$S_{2}$ , то умножение на $S_2(0)$$S_{2}(0)$  переведёт ответ в исходные единицы, то есть обычную валюту, в которой и получим формулу Маграбе.

См. такжеПравить

• Формула Блэка-Шоулза
• Формула Блэка

СсылкиПравить

• The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centre for Finance, University of Gothenburg

ЛитератураПравить

• William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
• Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978