Многочлены Фабера

Многочлены Фабера — обобщение многочленов Чебышёва.

ОпределениеПравить

Пусть $K$$K$  — ограниченный континуум — ограниченное непустое связное множество, содержащее более одной точки. И $g_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$g_{\infty }$  — это та из смежных с $K$$K$  областей, к которой принадлежит $z=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$z=\infty$ . $g_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\equiv <!--\; \equiv \; -->D$$g_{\infty }\equiv D$  — односвязная область расширенной плоскости, граница которой ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\Gamma _{\infty }$  является частью континуума $K$$K$ .

Область $g_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$g_{\infty }$  конформно отображается на внешность круга с центром в точке $w=0$$w=0$  посредством функции $w=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z)$$w=\Phi (z)$  так, что выполняются два условия:

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\Phi (\infty )=\infty$ 

$\underset{z\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z)/z=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}>0$$\lim _{z\to \infty }\Phi (z)/z=\gamma >0$ 

которыми функция $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z)$$\Phi (z)$  определяется единственным образом. Из этих условий следует, что функция $w=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z)$$w=\Phi (z)$ , являясь аналитической в области $D$$D$ , кроме точки $z=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$z=\infty$ , имеет в точке $z=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$z=\infty$  простой полюс, и поэтому её лорановское разложение в некоторой окрестности точки $z=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$z=\infty$  имеет вид

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}z+{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_0+{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1/z+{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_2/z^2+\dots <!--\; \dots \; -->.$$\Phi (z)=\gamma z+\gamma _{0}+\gamma _{1}/z+\gamma _{2}/z^{2}+\ldots .$ 

Многочленом Фабера n-го порядка, порождённым континуумом $K$$K$ , называется многочлен

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n(z)={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^n{z}^n+a_{n-<!--\; -\; -->1}^{(n)}{z}^{n-<!--\; -\; -->1}+a_{n-<!--\; -\; -->2}^{(n)}{z}^{n-<!--\; -\; -->2}+\dots <!--\; \dots \; -->+a_1^{(n)}z+a_0^{(n)}$$\Phi _{n}(z)=\gamma ^{n}z^{n}+a_{n-1}^{(n)}z^{n-1}+a_{n-2}^{(n)}z^{n-2}+\ldots +a_{1}^{(n)}z+a_{0}^{(n)}$ 

представляющий собой члены с неотрицательными степенями $z$$z$  в лорановском разложении функции $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z{)}^n$$\Phi (z)^{n}$  в окрестности бесконечно удаленной точки.

СвойстваПравить

• Многочлены Чебышёва являются частным случаем многочленов Фабера при $K=[-<!--\; -\; -->1;1]$$K=[-1;1]$ .

СсылкиПравить

• Суетин П. К. Многочлены Фабера.
• Weisstein, Eric W. Faber Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.