Многообразие Илса — Кёйпера

Многообразием Илса — Кёйпера называется компактификация евклидова пространства ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ сферой $S^{\frac{n}{2}}$$S^{{{\frac {n}{2}}}}$, где n = 2, 4, 8, и 16.

• n = 2: многообразие Илса — Кёйпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости $\mathbb{R}{P}^2$$\mathbb{R}P^2$.

Для $n\ge <!--\; \ge \; -->4$$n\geq 4$ оно является односвязным и имеет когомологическую структуру

• $n=4$$n=4$: комплексной проективной плоскости $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$,
• $n=8$$n=8$: кватернионной проективной плоскости $\mathbb{H}{\mathrm{P}}^2$$\mathbb {H} \mathrm {P} ^{2}$,
• n = 16: проективной плоскости Кэли $\mathbb{O}{\mathrm{P}}^2$$\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}$.

Многообразия Илса — Кёйпера играют важную роль в теории Морса и в теории слоений.

СвойстваПравить

• Теорема Илса — Кёйпера. Пусть $M$$M$  связное замкнутое многообразие размерности $n$$n$  (не обязательно ориентируемое). Предположим, на $M$$M$  существует функция Морса $f:M\to <!--\; \to \; -->R$$f:M\to R$  класса гладкости $C^3$$C^{3}$ , которая имеет ровно три критические точки. Тогда $n=$$n=$ 2, 4, 8 или 16 и $M$$M$  является многообразием Илса — Кёйпера.

• Теорема: Пусть $M^n$$M^{n}$  компактное связное многообразие, на котором задано морсовское слоение $F$$F$ . Предположим, что число $c$$c$  центров слоения $F$$F$  больше числа седел $s$$s$ . Тогда существуют ровно две возможности:
  • $c=s+2$$c=s+2$ , в этом случае $M^n$$M^{n}$  гомеоморфно сфере $S^n$$S^{n}$ ,
  • $c=s+1$$c=s+1$ , в этом случае $M^n$$M^{n}$  является многообразием Илса — Кёйпера, причем $n=2,4,8$$n=2,4,8$  и $16$$16$ .

См. такжеПравить

• Кёйпер, Николас
• Теорема Риба о сфере
• Теория Морса