Многообразие Гизекинга

Многообразие Гизекинга — трёхмерное гиперболическое многообразие наименьшего объёма.

ПостроениеПравить

Многообразие Гизекинга можно построить путём склеивания двух пар граней идеального равноугольного гиперболического тетраэдра (с двугранными углами $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$${\tfrac {\pi }{3}}$ ). Если пронумеровать вершины 0, 1, 2, 3, то грань 0,1,2 надо склеить с гранью 3,1,0 и грань 0,2,3 надо склеить с гранью 3,2,1; в обоих случаях требуется сохранять порядок вершин.

СвойстваПравить

 

Узел «Восьмёрка»

• Многообразие Гизекинга имеет наименьший объём среди всех гиперболических многообразий.
  • Его объём равен объёму правильного идеального гиперболического тетраэдра, он приблизительно равен 1.01494161.

• Двойное накрытие многообразия Гизекинга гомеоморфно к дополнению восьмерки.

• Границе окрестность бесконечности это бутылка Кляйна.

• Первые гомологии многообразия Гизекинга это целые числа.

• Многообразие Гизекинга расслаивается над окружностью с проколотым тором как слой; монодромия задаётся отображением $(x,y)\to <!--\; \to \; -->(x+y,x)$$(x,y)\to (x+y,x)$ .
  • Квадрат этого отображения — так называемое отображение арнольдовского кота^[en]. Это дает еще один способ увидеть, что двойное накрытие многообразия Гизекинга есть дополнение восьмёрки.

СсылкиПравить

• Gieseking, H. (1912), Analytische Untersuchungen über Topologische Gruppen, Thesis, Muenster, <http://name.umdl.umich.edu/ABR1814.0001.001> 
• Adams, Colin C. (1987), The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume, Proceedings of the American Mathematical Society Т. 100 (4): 601–606, ISSN 0002-9939, DOI 10.2307/2046691