Многомерное время в физике

Эта статья — о многомерном времени в физике. О многомерном времени в физике, философии и фантастике см. многомерное время.

Специальная теория относительности (СТО) описывает пространство-время в виде псевдориманова многообразия с одним отрицательным собственным значением метрического тензора, которое соответствует «временноподобному» направлению. Метрика с несколькими отрицательными собственными значениями будет соответственно подразумевать наличие нескольких временных направлений, то есть время будет многомерным, но в настоящее время нет консенсуса насчёт связи этих дополнительных «времён» с временем в обычном понимании.

Свойства S+T-мерного пространства-времени по Максу Тегмарку

Гипотезы многомерного времени выдвигались в физике двояко: как возможное теоретическое описание реальности или как любопытная возможность, вероятно, не имеющая отношения к известной природе. Например, Ицхак Барс опубликовал работу «Физика двухмерного времени», основанную на симметрии SO(10, 2) расширенной структуры суперсимметрии М-теории, являющийся самой современной и систематизированной разновидностью данной теории (см. также F-теория  (англ.) (рус.).

Если специальная теория относительности может быть обобщена на случай k-мерного времени $(t_1,t_2,...,t_k)$$(t_{1},t_{2},...,t_{k})$ и n-мерного пространства $(x_{k+1},x_{k+2},...,x_{k+n})$$(x_{k+1},x_{k+2},...,x_{k+n})$, тогда (k + n)-размерный интервал, будучи инвариантным, даёт выражение $(d{s}_{k,n}{)}^2=(cd{t}_1{)}^2+\dots <!--\; \dots \; -->+(cd{t}_k{)}^2-<!--\; -\; -->(d{x}_{k+1}{)}^2-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->-<!--\; -\; -->(d{x}_{k+n}{)}^2$$(ds_{k,n})^{2}=(cdt_{1})^{2}+\ldots +(cdt_{k})^{2}-(dx_{k+1})^{2}-\ldots -(dx_{k+n})^{2}$. Сигнатура метрики тогда будет выглядеть следующим образом:

$(\underset{k}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{+,\cdots <!--\; \cdots \; -->,+}},\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{-<!--\; -\; -->,\cdots <!--\; \cdots \; -->,-<!--\; -\; -->}})$$(\underbrace {+,\cdots ,+} _{k},\underbrace {-,\cdots ,-} _{n})$ — временно-подобное правило знаков  (англ.) (рус.,

или

$(\underset{k}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{-<!--\; -\; -->,\cdots <!--\; \cdots \; -->,-<!--\; -\; -->}},\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{+,\cdots <!--\; \cdots \; -->,+}})$$(\underbrace {-,\cdots ,-} _{k},\underbrace {+,\cdots ,+} _{n})$ — пространственно-подобное правило знаков  (англ.) (рус..

Преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта K и K′, которые находятся в стандартной конфигурации (например, преобразование без перевода и/или вращения оси пространства в гиперплоскости пространства и/или поворотов оси времени в гиперплоскости времени) выглядят следующим образом:

$t_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\prime }=\underset{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left({\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{t}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+\frac{c^2}{v_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{v}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}-<!--\; -\; -->1)t_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)-<!--\; -\; -->\frac{1}{v_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}{x}_{k+1},$$t'_{\sigma }=\sum _{\theta =1}^{k}\left(\delta _{\sigma \theta }t_{\theta }+{\frac {c^{2}}{v_{\sigma }v_{\theta }}}\beta ^{2}(\zeta -1)t_{\theta }\right)-{\frac {1}{v_{\sigma }}}\beta ^{2}\zeta x_{k+1},$

$x_{k+1}^{\prime }=-<!--\; -\; -->c^2{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\underset{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{t_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}{v_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}+\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}{x}_{k+1},$$x'_{k+1}=-c^{2}\beta ^{2}\zeta \sum _{\theta =1}^{k}{\frac {t_{\theta }}{v_{\theta }}}+\zeta x_{k+1},$

$x_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{\prime }=x_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},$$x'_{\lambda }=x_{\lambda },$

где ${\mathbf{v}}_1=(v_1,\underset{n-<!--\; -\; -->1}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{0,\cdots <!--\; \cdots \; -->,0}}),$$\mathbf {v} _{1}=(v_{1},\underbrace {0,\cdots ,0} _{n-1}),$ ${\mathbf{v}}_2=(v_2,\underset{n-<!--\; -\; -->1}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{0,\cdots <!--\; \cdots \; -->,0}}),$$\mathbf {v} _{2}=(v_{2},\underbrace {0,\cdots ,0} _{n-1}),$ ${\mathbf{v}}_k=(v_k,\underset{n-<!--\; -\; -->1}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{0,\cdots <!--\; \cdots \; -->,0}})$$\mathbf {v} _{k}=(v_{k},\underbrace {0,\cdots ,0} _{n-1})$ являются векторами скоростей K′ против K, определяют соответственно в зависимости от размеров времени t₁, t₂, …, t_k; $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{1}{\sqrt{\underset{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{c^2}{v_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2}}};$$\beta ={\frac {1}{\sqrt {\sum _{\mu =1}^{k}{\frac {c^{2}}{v_{\mu }^{2}}}}}};$ $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2}};$$\zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}};$ σ = 1, 2, …, k; λ = k + 2, k + 3, …, k + n. Здесь ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$\delta _{\sigma \theta }$ является символом Кронекера. Эти преобразования являются обобщением преобразования Лоренца в фиксированном пространственном направлении (x_k+1) в области многомерного времени и многомерного пространства.

Причинно-следственная структура пространства-времени с двумя временными измерениями и пространством одной размерности

Обозначим: $\frac{d{x}_{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}}{d{t}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}=V_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$${\frac {dx_{\eta }}{dt_{\sigma }}}=V_{\sigma \eta }$, и $\frac{d{x}_{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\prime }}{d{t}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\prime }}=V_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\prime },$${\frac {dx'_{\eta }}{dt'_{\sigma }}}=V'_{\sigma \eta },$ где σ = 1, 2, …, k; η = k + 1, k + 2, …, k + n. Сложение скоростей затем даст

$V_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(k+1)}^{\prime }=\frac{V_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(k+1)}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2\underset{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{c^2}{v_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{V}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(k+1)}}\right)}{1+\frac{V_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(k+1)}}{v_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2\left((\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}-<!--\; -\; -->1)\underset{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{c^2}{v_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{V}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(k+1)}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\right)},$$V'_{\sigma (k+1)}={\frac {V_{\sigma (k+1)}\zeta \left(1-\beta ^{2}\sum _{\theta =1}^{k}{\frac {c^{2}}{v_{\theta }V_{\theta (k+1)}}}\right)}{1+{\frac {V_{\sigma (k+1)}}{v_{\sigma }}}\beta ^{2}\left((\zeta -1)\sum _{\theta =1}^{k}{\frac {c^{2}}{v_{\theta }V_{\theta (k+1)}}}-\zeta \right)}},$

$V_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{\prime }=\frac{V_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}{1+\frac{V_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(k+1)}}{v_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2\left((\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}-<!--\; -\; -->1)\underset{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{c^2}{v_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{V}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(k+1)}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\right)},$$V'_{\sigma \lambda }={\frac {V_{\sigma \lambda }}{1+{\frac {V_{\sigma (k+1)}}{v_{\sigma }}}\beta ^{2}\left((\zeta -1)\sum _{\theta =1}^{k}{\frac {c^{2}}{v_{\theta }V_{\theta (k+1)}}}-\zeta \right)}},$

где σ = 1, 2, …, k; λ = k + 2, k + 3, …, k + n.

Для простоты рассмотрим только одну пространственную размерность x₃ и две временные размерности x₁ и x₂ (то есть, x₁ = ct₁, x₂ = ct₂, x₃ = x). Предположим, что в точке O, имеющей координаты x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0, имело место событие E. Предположим далее, что с момента события E прошёл интервал времени $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T=\sqrt{(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{t}_1{)}^2+(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{t}_2{)}^2}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\Delta T={\sqrt {(\Delta t_{1})^{2}+(\Delta t_{2})^{2}}}\geqslant 0$. Причинно-следственная область, связанная с событием E, включает в себя боковую поверхность прямого кругового конуса {(x₁)² + (x₂)² − (x₃)² = 0}, боковую поверхность прямого кругового цилиндра {(x₁)² + (x₂)² = c²ΔT²} и внутреннюю область, ограниченную этими поверхностями, то есть причинно-следственная область включает в себя все точки (x₁, x₂, x₃), для которых условия

$(x_1{)}^2+(x_2{)}^2-<!--\; -\; -->(x_3{)}^2=0\text{ и }|x_3|⩽<!--\; ⩽\; -->c\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T$$(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}-(x_{3})^{2}=0{\text{ и }}|x_{3}|\leqslant c\Delta T$ или

$(x_1{)}^2+(x_2{)}^2=c^2{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T}^2\text{ и }|x_3|⩽<!--\; ⩽\; -->c\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T$$(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}=c^{2}{\Delta T}^{2}{\text{ и }}|x_{3}|\leqslant c\Delta T$ или

$(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}-(x_{3})^{2}>0{\text{ и }}(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}<c^{2}{\Delta T}^{2}$

являются выполненными.

Тем не менее, сигнатуры (1, 3) и (3, 1) физически эквивалентны, так как положительная длина вектора в пространстве Минковского для временноподобных интервалов — это условность, зависящая от договорённости о знаке метрического тензора. Так, некоторые физики как правило используют метрику с сигнатурой (+−−−), что приводит к положительной «длине» Минковского для времениподобных интервалов и энергии, в то время как пространственное расстояние будет иметь отрицательную «длину» Минковского. Релятивисты, однако, как правило придерживаются противоположной конвенции (−+++), что даёт для пространственного расстояния положительную «длину» Минковского.

Все вселенные многомерного времени можно рассматривать в качестве фридмонов.

Связь с антропным принципомПравить

В качестве доказательства трёхмерности пространства (если не считать возможные измерения неподтвержденной теории струн) могут приводиться физические последствия предположения о том, что количество измерений отличается от трёх пространственных плюс одного временного. Этот аргумент выполнен в духе антропного принципа, и возможно, это первый случай его использования, пусть и до того, как концепция данного принципа была полностью сформулирована.

Неявное представление о том, что размерность существующей Вселенной является особенной, впервые высказал Лейбниц, который в «Рассуждении о метафизике» предположил, что «мир соответствует такой модели, которая является самой простой в гипотезе и самой богатой в явлениях».

Макс Тегмарк рассматривает гипотезы миров с размерностью времени T > 1 с точки зрения антропного принципа и приходит к выводу о невозможности существования разумной жизни в такой модели мира. В общем случае неизвестно функционирование физических законов в мире с многомерным временем. Если Т отлично от 1, поведение физических систем не может быть выведено из знания соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных — задача Коши для волнового уравнения становится плохо определённой. Иными словами, в мире с многомерным временем невозможно точно рассчитать поведение физических систем в будущем, а любой расчёт физических законов будет иметь несколько решений — будущее такой вселенной невозможно спрогнозировать. Разумная жизнь, способная использовать технологии, в подобной вселенной не могла бы возникнуть. Единственный вариант однозначного решения для физических уравнений в мире с многомерным временем — это движение наблюдателя со скоростью света, когда время для него вообще не существует.

Более того, Тегмарк утверждает, что если T > 1, протоны и электроны были бы неустойчивы и могли бы распадаться на более массивные частицы. (Это не проблема, если частицы имеют достаточно низкую температуру.) При T > 1 субатомные частицы, распадающиеся в течение определённого периода, вели бы себя непредсказуемо, геодезическая линия не обязательно была бы максимальной для времени. Случай мира с размерностью пространства N = 1 и времени T = 3 обладает интересным свойством: скорость света является нижней границей скорости материальных тел, а вся материя состоит из тахионов.

Только мир с трёхмерным пространством даёт достаточную стабильность и сложность, так как в мире с числом измерений пространства меньше 3 маловероятна гравитация и возникают топологические проблемы, а в мире с числом измерений пространства больше 3 невозможно существование стабильных орбит (для гравитационного и электромагнитного полей либо иных дальнодействующих взаимодействий). Поэтому миры с мерностью времени отличной от 1 имеют недостаток прогнозируемости, а миры с развёрнутой мерностью пространства больше 3 — недостаток стабильности. Таким образом, соблюдение антропного принципа исключает любые варианты мира помимо N = 3 и Т = 1 (или N = 1 и Т = 3 в других концепциях).

Связь с длиной Планка и скоростью светаПравить

Движение пробной частицы может быть описано координатой:

$x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\left(\begin{array}{c}ct\\ r\cdot <!--\; \cdot \; -->f\left(\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}\right)\\ \mathbf{x}\end{array}\right)$$x^{\mu }={\begin{pmatrix}ct\\r\cdot f\left({\frac {\gamma \tau }{\Lambda }}\right)\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}$

которая является каноническим (1,3) вектором пространства-времени $(ct,\mathbf{x}{)}^T$$(ct,\mathbf {x} )^{T}$ с $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^3$$x\in \mathbb {R} ^{3}$ расширенную на дополнительную временноподобную координату $r\cdot <!--\; \cdot \; -->f(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}/\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->})$$r\cdot f(\gamma \tau /\Lambda )$. $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ тогда второй параметр времени, $r\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$r\in \mathbb {R}$ описывает размер второго временного измерения и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ является характеристической скоростью, таким образом, эквивалент $c$$c$. $f$$f$ описывает форму второго временного измерения и $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\Lambda \in \mathbb {R}$ параметр нормализации такой, что $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}/\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\gamma \tau /\Lambda$ безразмерно. Разбивая $x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=x_t^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+x_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$x^{\mu }=x_{t}^{\mu }+x_{\tau }^{\mu }$ с

$x_t^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\left(\begin{array}{c}ct\\ 0\\ \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathbf{x}\end{array}\right);x_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\left(\begin{array}{c}0\\ r\cdot <!--\; \cdot \; -->f\left(\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}\right)\\ (1-<!--\; -\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})\mathbf{x}\end{array}\right),\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$x_{t}^{\mu }={\begin{pmatrix}ct\\0\\\eta \mathbf {x} \end{pmatrix}};\ x_{\tau }^{\mu }={\begin{pmatrix}0\\r\cdot f\left({\frac {\gamma \tau }{\Lambda }}\right)\\(1-\eta )\mathbf {x} \end{pmatrix}},\eta \in (0,1)$

и используя метрику $(+,+,-<!--\; -\; -->,-<!--\; -\; -->,-<!--\; -\; -->)$$(+,+,-,-,-)$, тогда Лагранжева механика становится

$L(x,\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x},x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}},t,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\frac{r}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}\sqrt{{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{c}}^2{t}^2+c^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^2{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{x}}}^2+2\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{c}ct}\sqrt{({\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}2}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2+{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2+2\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}){\left({\frac{df}{dz}|}_{z=\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}}\right)}^2-<!--\; -\; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}{)}^2{\mathbf{x}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}2}}.$$L(x,{\dot {x}},x^{\prime },t,\tau )={\frac {r}{\Lambda }}{\sqrt {{\dot {c}}^{2}t^{2}+c^{2}-\eta ^{2}{\dot {\mathbf {x} }}^{2}+2{\dot {c}}ct}}{\sqrt {(\gamma ^{\prime 2}\tau ^{2}+\gamma ^{2}+2\gamma \gamma ^{\prime }\tau )\left(\left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z={\frac {\gamma \tau }{\Lambda }}}\right)^{2}-(1-\eta )^{2}\mathbf {x} ^{\prime 2}}}.$

Применение уравнения Эйлера — Лагранжа дает

$\frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}}_i}+\frac{d}{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}L}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}=0$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}+{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}^{\prime \ }}}-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0$

Как следствие этой модели было высказано предположение, что скорость света не была постоянной в ранней Вселенной.