Минимизирующая последовательность

Минимизирующая последовательность — конструкция, используемая в вариационном исчислении и математической оптимизации для задачи нахождения минимального значения функции (функционала) и задачи отыскания элемента, на котором функция принимает минимальное значение.

Формально, последовательность $\{x_i\}$$\{x_i\}$ ($x_i\in <!--\; \in \; -->M$$x_{i}\in M$) для непрерывной функции $f$$f$, определённой на множестве $M$$M$, называется минимизирующей, если последовательность значений $\{f(x_i)\}$$\{f(x_{i})\}$ стремится к точной нижней грани значений данной функции на $M$$M$:

$\underset{i\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}f(x_n)=\underset{x\in <!--\; \in \; -->M}{inf}f(x)$$\lim _{i\to \infty }f(x_{n})=\inf _{x\in M}f(x)$.

Минимизирующие последовательности не обязательно сходятся к элементу $x^{\star <!--\; \star \; -->}$$x^{\star }$, в котором достигается минимум $inff(x)=f(x^{\star <!--\; \star \; -->})$$\inf f(x)=f(x^{\star })$, то есть $li{m}_{i\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}_i\ne <!--\; \ne \; -->x^{\star <!--\; \star \; -->}$$lim_{i\to \infty }{x_{i}}\neq x^{\star }$ в общем случае. Если же всякая минимизирующая последовательность сходится к элементу $x^{\star <!--\; \star \; -->}$$x^{\star }$, то задача минимизации функции $f$$f$ на $M$$M$ называется устойчивой. Методы решения устойчивых задач минимизации с использованием минимизирующих последовательностей подразделяются на три класса: прямые (не используют производные функции), методы спуска (использующие первые производные, например, метод градиентного спуска), и алгоритмы с использованием производных высших порядков.

Для решения неустойчивых задач минимизации для построения минимизирующих последовательностей используются методы регуляризации.

См. также Править

• Прямой вариационный метод (англ. direct method in the calculus of variations)

Ссылки Править

• Минимизирующая последовательность — статья из Математической энциклопедии. Ю. В. Ракитский