Метрика Пуанкаре

Метрика Пуанкаре на гиперболической римановой поверхности — согласованная с комплексной структурой метрика постоянной отрицательной кривизны на ней. На единичном диске D задаётся формулой

$d{s}^2=\frac{|dz{|}^2}{(1-<!--\; -\; -->|z{|}^2{)}^2}.$$ds^{2}={\frac {|dz|^{2}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.$

На любую другую поверхность S, универсальной накрывающей над которой является диск, метрика Пуанкаре корректно спускается факторизацией, поскольку метрика на диске инвариантна относительно его автоморфизмов.

СвойстваПравить

Метрика Пуанкаре инвариантна относительно автоморфизмов римановой поверхности, и (как утверждает теорема Шварца-Пика) не увеличивается произвольным голоморфным отображением.

ЛитератураПравить

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 30-36. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4.