Теорема Пика (комплексный анализ)

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.

Формулировка править

Пусть $w=f(z)$$w=f(z)$  — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

$Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.$ 

Тогда для любых точек $z_1$$z_{1}$  и $z_2$$z_{2}$  круга $Q$$Q$  расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:

$d(w_1,w_2)\le <!--\; \le \; -->d(z_1,z_2),w_1=f(z_1),w_2=f(z_2)$$d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})$ .

Более того, равенство достигается только в том случае, когда $w=f(z)$$w=f(z)$  есть дробно-линейная функция, отображающая круг $Q$$Q$  на себя.

Замечания править

Поскольку

$\mathrm{t}\mathrm{h}<!--\; \; -->[\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->d(z,w)]=\frac{\left|z-<!--\; -\; -->w\right|}{\left|1-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}\cdot <!--\; \cdot \; -->w\right|},$$\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|z-w\right|}{\left|1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},$ 

условие

$d(w_1,w_2)⩽<!--\; ⩽\; -->d(z_1,z_2)$$d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})$ 

эквивалентно следующему неравенству:

$\left|\frac{f(z_1)-<!--\; -\; -->f(z_2)}{1-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f(z_1)}f(z_2)}\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{\left|z_1-<!--\; -\; -->z_2\right|}{\left|1-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_1}{z}_2\right|}.$$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}.$ 

Если $z_1$$z_{1}$  и $z_2$$z_{2}$  бесконечно близки, оно превращается в

$\frac{\left|f^{\prime }(z)\right|}{1-<!--\; -\; -->{\left|f(z)\right|}^2}⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{1-<!--\; -\; -->{\left|z\right|}^2}.$${\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.$ 

Литература править

• Рick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.